6 (39)

112

6. Całka Riemanna-Slieltjesa

Przechodząc z N do nieskończoności, otrzymujemy (23).

6.17. Twierdzenie. Niech funkcja a będzie rosnąca monotonicznie i niech oi e& na (a,l Niechf będzie ograniczonąfunkcją rzeczywistą na <a, h>.

/ e a) wtedy i tylko wtedy, gdy /a' e 5?. Wfym przypadku

(27)    J/da = f/(x)a'(x)dx.

Dowód. Wybierzmy e> 0 i zastosujmy twierdzenie 6.6 do a'. Istnieje podział P= {x₀,...,xj odcinka <a, b) taki, że

(28)    V(P,<x')-L{P,a') < c.

Twierdzenie o wartości średniej wskazuje punkty t, e <x,_ „ x,> takie, że Aa, = oc'(tj)< dla i = 1,2,..., n. Jeżeli s, € <x,__t, x_f>, to z (28) i twierdzenia 6.7b)

(29)    £ |«'(s₁)- a'(/_<)|dx_i < e.

i- i

Oznaczmy M = sup|/(x)|. Ponieważ

X/(s,)da₍- * £/fo)a'(f,)dx„

/-t    I-I ji .

więc z (29) wynika, że

C30)    11    i/(5,)a'(s_i)dx_łI < Me.

i-i    i-i

W szczególności

Ż/Wa, s? U(P,fa')+Ms, przy dowolnym wyborze 5/ e <x_f_,, x,>. Wobec tego

U{P,f a) < V(PJa')+Me.

Identyczna argumentacja pokazuje, że z (30) wynika też

U(P,f*') < l/(P,/,«)+Me.

Zatem

(3*1)    V(P,f«)~V(P,MśMe.

Zauważmy teraz, że (28) pozostaje w mocy, jeżeli zastąpimy P jego dowolnym podpodzia-łem. Wobec tego też i (31) pozostaje prawdziwe. Zatem

T ~ ~i--

tff tl*-!f(x)<x’(x)\dx < Me,

aa

a ponieważ e było dowolne