5469091773

Przechodząc do granicy otrzymamy, że

Um (>»rrf₉(_r^))=i,,

czyli zachodzi (3.2).

Z jednoznaczności zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej otrzymamy, że moduł liczby e² czyli \e^z\ = limn-**, | (l + ^)”| = e^x, zaś Arg(e^z) = lim^oo Arg (l + ^)ⁿ = y. Stąd

exp(z) = e^z = e^x+ty = e^x(cosy + isiny).    (3.3)

Podstawiając za 2 = 0 4- iy otrzymamy wzór Eulera tzn.

Vj/ € M e^iy = cosy + isiny    (3.4)

Wracając do definicji funkcji wykładniczej e^z (znowu korzystając z jednoznaczności zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej) otrzymamy, że

e^z = e^x+iy — e^xe^iy — e^x(cosy + isiny).

Własności

a)    Część rzeczywista i urojona funkcji f(z) = e^z wynoszą odpowiednio

u(x, y) = e^xcosy, v(x, y) = e^xsiny.

b)    \e^z\ = e^x.

c)    funkcja e^z jest holomorficzna w C oraz (e²)' = e².

Jest oczywiste, że część rzeczywista i urojona funkcji są klasy C¹(R²). Pokażemy, że spełniają równania Cauchy’ego-Riemanna:

u'_x{x,y) = e^xcosy, u'(x,y) = —e^xsiny, v'_x(x,y) = e^xsiny, v'_y(x,y) = e^xcosy,

u'_x(x,y) = v'_y(x,y), u'_y{x,y) = -v_x(x,y).

f(z) = ^ = u'_x + iv_x = e^xcosy + ie^xsiny = e^x(cosy + isiny) = e².

d)    Vzj, Z2 G C, e^2l+22 = e^2le²².

e^2le²² — e^x>(cosy\ + isinyi)e^X2{cosy-z + isiny2) — e^x,+X2 (cos(yi + 2/2) + isin(yi + 2/2)) •

_ _e(xi+a:2)+i(yi+y2) _ _e2l+«_

17