0076

77

§ 4. Kryterium zbieżności — Punkty skupienia

Przechodząc do granicy, otrzymujemy a<M*+e i na podstawie dowolności e, jest

a<M*.

Tak więc M* jest rzeczywiście największym z punktów skupienia, tj.

A/*=lim x„.

Podobnie ustala się istnienie granicy dolnej. Nie powtarzając wszystkich rozumowań, zauważmy następujące dwa fakty.

Jeżeli granicą dolną jest +>», to istnieje granica w zwykłym sensie

iim x„ = + oo .

Jeżeli granica dolna jest skończona, równa A/*,

M* = lim x„ ,

to ma ona własności analogiczne do wskazanych powyżej dla M*:

I własność liczby M#. Dla dowolnej liczby £>0, istnieje taki wskaźnik N", że dla n>N" jest

x„> A/» —£ .

II własność liczby M_t. Dla dowolnej liczby £>0 i wskaźnika N, istnieje wyraz o wskaźniku n">N taki, że

x„" <M_t+e .

Przejdźmy do dowodu ostatniej tezy twierdzenia. Jeżeli istnieje granica w zwykłym sensie lim x„ (skończona lub nieskończona), to wszystkie możliwe punkty skupienia pokrywają się z tą granicą [40], i konieczność wskazanego warunku jest oczywista.

Załóżmy teraz, że

lim ,x„=lim a.-„ .

Jeżeli wspólną wartością tych granic jest + oo lub — oo, to jak widzieliśmy, istnieje granica ciągu w zwykłym sensie, i ma tę samą wartość.

Niech teraz obie granice będą skończone:

M*=Af, = a .

Wówczas, zestawiając I własność dla liczb M* i , znajdziemy dla danego £>0 taki wskaźnik N, że dla n>N jest

a-e<x„<a+e , tj.    |a„ —a|<£.

Oznacza to, że a jest granicą ciągu {jc„} w zwykłym sensie, co dowodzi twierdzenia.

Zauważmy, że za pomocą tego twierdzenia łatwo już dowodzi się dostateczności warunku Bol-zano-Cauchy’ego [39]. A mianowicie (jeśli zachować poprzednie oznaczenia) z nierówności

x„'— e<x_n<x_n'+-s    (dla n oraz n’> N)

wynika bezpośrednio, że granica górna i dolna ciągu {*„} są skończone, i różnią się co najwyżej o 2e. A więc, ponieważ e jest dowolne, granice te są równe, skąd już wynika istnienie skończonej granicy w zwykłym sensie.