chądzyński3

120 6. FUNKCJE REGULARNE

Przechodząc w (5) do granicy przy R —» -t-oo i korzystając z! (4), (6) i (7), dostajemy

/■

'0 t(t^a +1>²)

To kończy rozwiązanie.

sin at    1 — exp(—afi)

dt = 7T-    '

26²

□

Zadanie 7. Obliczyć całkę

r⁺°° (t² — 6²) sin atdt

t(t² + b²)

Jo

gdzie. a. > 0, b > 0.

Rozwiązanie. Funkcja <7 określona wzorem g(z) — (expiaz — l)jz jest holomorficzna w C^x i jeśli położymy g(0) = ia, to tak rozszerzona funkcja, jest, holomorficzna w C, czyli całkowita. Stąd wynika, że funkcje Regi® i lingi® są ciągłe.

Rozważmy w C funkcję / określoną wzorem

(C    =    ;

Jest to funkcja meromorficzna w C. Ma ona jedynie dwa bieguny jednokrotne w punktach Zi — ib, z₂ = —ib. Obliczmy residuum fuiikcji / w punkcie zi- W myśl zadania 6.3.4 mamy    |

(2)

res^ / =

(z² - b²)g(z)

2 z

z=ib

-2b²(exp(—ab) — 1) ~    ^2b²

— exp(—ab) — 1.

(3)

Niech dalej liczba R będzie większa od b. Wówczas mamy

dla k = 1,

hal _VR(z_k) =

{!

dla k — 2.

Z (1), (2) i (3), na mocy twierdzenia o residuach, dla dowolnego R > b dostajemy

(4)    f f{z)dz ~ 27rż(exp(—ab) — 1).

J^k

Z drugiej strony mamy

f f(z)dz = [ .f{z)dz+ f f(z)dz.

JV_H    JC_H

Obliczmy granicę pierwszej całki po prawej stronie (5) przy R +oo. Mamy

f    f (^z)dz = f

J[-R,R)    J-

(t² — b²)(expiat — 1)

-r    + b²)

^R (t² — b²) (cos at — 1)

«    W+&)

= 2i /*&■z*)***

dt

^R (t² — b²) sinat , dt + i ^y    ....—dt

L

-R t(t² + b²)

f

Jo

t(t² + b²)

Stąd

(6)

lim [ f(z)dz — 2i f

i?—»-foo J[__RR]    Jo

Ponadto z zadania 1 mamy

(7)

+oo / <2

(;t² — b²) sin at t(t² -f b²)

dt.

.. f (z² — 6²)(exp iaz — 1) hm /    -—--dz =

R—>+co

c* (^z‘² + ^b2) (z² ~ b²) exp iaz

lim .    . .    ..

Ti—»+oo J_Cr    z(z² + b²)

1    J.    f (z² - b²)dz

dz - lim /    —ryr-

R->+ooJ_Cr z(z² + b²)

0 — 71 i = —771.

Przechodząc w (5) do granicy przy i? —► +oo j korzystając z (4), (6) i (7), dostajemy

•+«> _s^_na^

27 /    . ttv - ; — dt = 7T7 + 271/(exp(—ao) — 1).

<jT

Stąd

t(t² + b²) '⁺°° sin at

1

/₀ t(t» + 4*)* ⁼ '^(eXp("^o6) “ 2^)-

To kończy rozwiązanie.

6.6. Całkowanie funkcji wieloznacznych Zadanie 1. Niech

□

f^+ca (Log t)^k

h = J    A = 0,1,...

t⁴ + 1

Obliczyć całkę I₀ oraz znaleźć związek rekurencyjny między I_k (k > 1)