6 (37)

no

6. Całka Riemanna-Slieltjesa

e) Jeślif e^(«_I)ife &(ct₂)_ytof e

ifd(«_t+«₂) - f/d*i+J/d«₂; jeśli f e 3t(z) i c jest liczbą dodatnią, to fe 8(c<x) i «

~ J/dM = cf/d«.

jf .«„v    a.

Dowód. Jeżeli/—/i+/₂, a P jest dowolnym podziałem przedziału ^t0

(20)    L(P,/₁₍«)+L(P,/₂, # •< L(P,/, a) < l/(P,/, a) < l/(P,/i, *)+ W*f* ^a)-Jeśli/i 6 &(a) i/₂ 6 #(a), to dla s > 0 istnieją taicie podziały Pj (j = 1.2), że

,y «.(^,/*

Nierówność ta pozostanie prawdziwa, jeżeli P_x i P₂ zastąpimy ich wspólnym zagęszczeń niem P. Wtedy z (20) wynika, że

i Ł/(P,f, a)-L(P,/, a) < 2?.

a stąd wynika, że/e 32(a).

Dla tego samego podziału P mamy

t/(P,X',«)    0‘ = 1,2);

wobec tego z (20) wynika, że

lf da < U{P,fa) < J/₁da+|/₂d«+2a.

Ponieważ a jest dowolne, więc otrzymujemy stąd nierówność

(21) _{t J;} |    jy^a < J/ida+J/₂d«.

Jeżeli funkcje/! i f₂ zastąpimy -/ji —/₂, to nierówność przejdzie na przeciwną (ponieważ* jak łatwo sprawdzić, j(—/)da = —f/da); tym samym żądana równość jest udowodniona Dowody pozostałych części twierdzenia 6.12 są tak podobne, że nie będziemy ich szczegó-J Iowo przeprowadzać. W części c) rzecz polega na tym, że przechodząc do zagęszczeń danycht przedziałów przy przybliżaniu całki jfda, możemy ograniczyć się tylko do podziałów,] zawierających punkt c.

6.13. Twierdzenie. Jeżeli fe &(a)ige &(<x)m <fl,łf),to:

W 14 r‘* 'fi

a) fg e &(żj, b) |/| 6 3t(a) oraz |J/da| ^ J\f\da.

Dowód. Przyjmując <p(t) = t² i stosując do <p twierdzenie 6.11 mamy, żef¹ e «(a), jeśli / e ^(«). Tożsamość 4fg = {f+g)²—(f—g)², kończy dowód części a).

Przyjmując <p(t) = |r| i stosując twierdzenie 6.11, w ten sam sposób otrzymujemy wniosek,! że |/| e #(<*). Niech c = ±1; tak aby cjfdz > 0. Wtedy, ponieważ cf < |/f, mamy

|J/da| = cj/dot = Jc/dz ^ J|/|dz.