6 (33)

106 6. Całka Riemanna-Stieltjesa

Mamy więc

UP*,f, <x}-L(P,/, a) =    [a(x*)~ a(x_f_ J]+w₂[a(x_i)- a(x*)]- m^,)-10] ‘={1

= (wi-m_i)[a(x*)-a(x_i_₁)]+Cw₂-m_J)[a(x_l)-a(x*)] > 0.

Jeżeli P* zawiera o fc punktów więcej niż P, to powtarzając powyższe rozumowanie k razy otrzymamy (9). Dowód nierówności (10) przebiega analogicznie.

6.5. Twierdzenie. J/da < J/da.

Dowód- Niech P* będzie wspólnym zagęszczeniem dwu podziałów P_t i P₂. Z twierdzo^ nia 6.4

UPuf, a) < UP*,f, a) U (P*,f, a) < U(P₂,/,a).

Stąd

UD

Traktując P₂ jako ustalone i obliczając kres górny ze względu na wszystkie P_t, otrzymujemy z (11)

(12)    j/d«ś l/(P₂,/,«).

Przechodząc do kresu dolnego ze względu na wszystkie P₂, otrzymujemy z (12) tezę naszego twierdzenia.

6.6. Twierdzenie./e 0t{a) na <a, i>> wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego e > 0 istnieje podział P taki, że

(13)    U{P,f,<x)-L{P,f,ix)    <    £.

Dowód. Dla dowolnego P mamy

L(P,/, a) < £fda < pte < l/(P,/, a).

Dlatego z (13) wynika, że

0 < j/d«-J/dot < e.

A zatem jeśli przy dowolnym e > 0 nierówność (13) jest spełniona przy jakimś podziale P, I to

ifda = jjjda,

tj./e #(a).

Załóżmy teraz, że/e &(a) i dana jest liczba e > 0. Istnieją wtedy podziały P_t i P₂ takie, że

(14)    l/(P₂,/,a)-J/d«    <    *e,

(15)    f/da-KPi./.d)    <    ie.

Jako podział P weźmy wspólne zagęszczenie podziałów P_t i P₂. Wtedy, jak wynika z twierdzenia 6.4 wraz z nierównościami (14) i (15), zachodzą nierówności