6 (47)

120

6. Całka Riemanna-Stieltjesa

13.    Przyjmijmy

«+>

/(x)=» J sin(i²)<fr.

X

a)    Wykazać, że |/(xj| < l/x dla x > 0.

Wskazówka. Podstawiając t² = u i całkując przez części pokazać, że/(x) jest równa cos(x²) cosffc+l)²) H^cosu 2x “ 2(x+l) “ i 4^~^dU>

zastąpić następnie cos u przez -1.

b)    Wykazać¹, że 2x/(x) = cos(x²)-cos((x+ l)²)+r(x), gdzie i/(x)| < c/x i c jest stałą.

c)    Znaleźć granicę górną i dolną x/(x), przy x-»oo.

d)    Czy całka f sin(t²)dt jest zbieżna?

o

14.    W podobny sposób rozpatrzyć przykład, kiedy

*+i

/(*)*» J sinfeOdt.

X

Wykazać, że

*1fW < 2

i że e^xf(x) - cos(e*)-e^-1 cos(e*^+I)+r(x)> gdzie |/(x)| < Ce~^x, przy pewnej stałej C.

15.    Niech/ będzie funkcją rzeczywistą i różniczkowalną w sposób ciągły na <«, b>. Niech/(a)=f(b) - 0 i niech

ff²(x)dx = 1.

Wykazać, że

i^xf(^x)f'(^x)dx = i że

j[/'(x)]²dxjx²/^J(x)dx > i

16.    Dla 1 < s < oo określmy

»«= i

(Jest to tak zwana /unkcja dzeta Riemanna, mająca wielkie znaczenie przy badaniach rozmieszczenia liczb pierwszych wśród liczb naturalnych.) Wykazać, że

1 1

gdzie [x] oznacza największą z liczb całkowitych < x. Wykazać, że całka w b) jest zbieżna przy wszystkich s > 0.

Wskazówka. Dla dowodu a) obliczyć różnicę pomiędzy całką na przedziale <1, N) a N-tą sumą częściową szeregu definiującego £(s).

17. Niech a będzie funkcją monotoniczną na przedziale {a, ł>), niech g będzie funkcją ciągłą i g(x) = G'(x) dla a < x ^ b.

b    b

Wykazać, że ja(x)g(x)dx - G(ó)a(b)-G(a)a(a)- jGda.

Wskazówka. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że g jest funkcją rzeczywistą. Dla danego podziału P = = (x₀,x„.... x„} wybierzmy r,-e(x₍_„x) tak, aby dx, = G(x,)-G(x_i_₁).