6 (43)

116

6. Całka Riemanna-Stieltjesa

lf(t)dt = F(6)-F(a).

Jednakże już analogon twierdzenia 6.13 b) ma pewne nowe cechy, przynajmniej jeśli chodzi o jego dowód.

6.25. Twierdzenie. Niech {odwzorowuje przedział (a, b} w przestrzeń R^k. Jeżeli f e 0ł(d} dla dowolnej funkcji a monotonicznej na <a, by, to |fj e Jt(<x)i

(40)    ijfdaK Jfflda.

Dowód. Jeżeli/!,... ,f_k są składowymi odwzorowania f, to

(41)    |fl =.(/₁².*...+/*²)T. ..

Na podstawie twierdzenia 6.11 każda z funkcji // należy do zbioru Śf(<x) i wobec tego również ich suma należy do &(a). Ponieważ x² jest ciągłą funkcją zmiennej x, więc twierdze! nie 4.17 pokazuje, że pierwiastek kwadratowy jest funkcją ciągłą na przedziale <0, M> dla dowolnego M rzeczywistego; Jeżeli jeszcze raz zastosujemy twierdzenie 6.11, to otrzymamy! wniosek, że |f] e J?(«). ą |

Aby udowodnić (40), napiszmy y = (y„... ,y_k), gdzie = j/da. Wtedy y = ffda oraz J

lyf = t.yf'=    - f(£yj$d£

Na podstawie nierówności Schwarza

(42)    . _x.■

i z t wierdzenia 6.12 b) wynika, że

(43)    . .    ¹    ^    .....

Jeżeli y = 0, to nierówność (40) jest trywialna. Jeżeli y # 0, to dzieląc (43) przez |y| otrzymamy (40).

Krzywe prostowalne

Na zakończenie tego rozdziału omówimy jedno ciekawe zastosowanie geometrycznej! części wyłożonej poprzednio teorii. Przypadek k = 2, tj. przypadek krzywych płaskich, jest ] szczególnie ważny z uwagi na zastosowanie przy badaniu funkcji analitycznych.

6.26. DEFINICJA. Ciągłe odwzorowanie y przedziału <a, b} W przestrzeń R^k nazywamy ; krzywą w R^k. Dla lepszego uwidocznienia przedziału <a, b} przebieganego przez parametr, 1 będziemy również mówić, że y jest krzywą ha <a, h>.

Jeśli y jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to nazwiemy y lukiem.

Jeśli y (a) = y(b), to powiemy, że y jest krzywą zamkniętą. Wypada zauważyć, że krzywa jest zdefiniowana jako odwzorowanie, a nie jako zbiór punktów. Oczywiście, z każdą krzywą I w J?* związany jest podzbiór /?*, a mianowicie obraz y, lecz różne krzywe mogą mieć ten sam 1