DSC07140 (5)

208

Całki oznaczone

= In 2 4- 2(ln 3 — In 2) + 3(ln 4 — In 3) + 4(In 5 — In 4) +5(In6-ln5) + 6(łn 7 - In 6) + 7 (2 - In 7)

= 14 — In 7! = 14 — In 5040. c) Zauważmy najpierw, że

dsy/s*- 2x+l = y/[x - l)² = \* - 1|.

Korzystając teraz z własności addytywności całki względem przedziału całkowania oraz ohr&nii wartości bezwzględnej otrzymamy

4    4    14

= J \x — l|dz= J |x —1| dx + J |x — l|dx

O    0    0    1

14

= /[-(*-§)I «** + fi*-l)dx= \~y +_x + ?--Ą =5,

o    {    L Jo L² Ji

d) Mamy

-1

-X

Przykład 8.7 Oszacować podane całki:

IB1SiSI<>/

dx

10 + 3cosx’

i

d) f

J 1 +x3 '

Rozwiązanie

Jeżeli fimkeje ciągłe /, y, A spełniają na przedziale [a, 6J nierówności /(_x) < _g(_x) ^ /»(*), to nierówności te przenoszą się na całki oznaczone

7    ⁶

/ /(*)<£rs J g(x)dx ś J h(x)dx.

a) Zauważmy, że dla każdego x € [0,100| prawdziwe są nierówności

100+100 x+ 100    0 + 100'

Przykłady

209

czyli otrzymaliśmy oszacowanie

IDO

2e¹⁰⁰ ^ / z+100 ^ * ^ll

b) Dla każdego x 6 [0, l| prawdziwe są nierówności

*⁹ «

Vi +1 vTTx Vi + 0*

Zatem

-< /—

xoV2^y /r+

c) Zauważmy najpierw, że dla każdego x € R mamy 7 $ 10 + 3 cos z ^ 13, stąd

a.

13 I0 + 3cosi • 7 Zatem dla rozważanej całki prawdziwe jest oszacowanie

2w

13    10+ 3

, .2*

* dz $ —.

o cos a:    r

d) W rozwiązaniu wykorzystamy nierówność podwójną

1-y ^cosz^l,

gdzie x € R. Mamy zatem

i . J²    i    i

/2 j ^ f coBxdx . f dx

wm^fi i+x* ^J i+x*-0 0 0

Po obliczeniu całek po obu stronach nierówności otrzymamy oszacowanie

i

0.678..ifWS&ą 1*0.785.... 8    2 ^ J 1+*³    4

Przykład 8.8

Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych przedziałach:

a)/(*) = «*. [-2.2]; ^b)ff(^x) = *TX. (-¹*⁰!:

c) A(x) = sin³ x, H I fe = Hj® RH

i