3784494698

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych oraz stosując twierdzenie sinusów do trójkątów ABC i ABI, możemy powyższą równość przepisać kolejno jako:

sin23    „ sin/?    2 sin3 cos/? _ sin/?

cosa • ———— = cos /? • —;—,    cosa- —-= cos/? - ——.

sm2a    sino:    2 sina cosa    sino

Ostatnia zależność jest spełniona dla dowolnych liczb 0<a<7r/2 oraz 0 < /? < 7r/2. Dowód lematu jest więc zakończony.

Sposób III

Oznaczmy przez I a, Ib, Ic, I odpowiednio środki okręgów wpisanych w trójkąty AEF, BFD, CDE, DEF. Niech ponadto K, L, M będą punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt DEF odpowiednio z bokami EF, FD, DE. Punkty K, L, M są również punktami styczności okręgów wpisanych w trójkąty AEF, BFD, CDE z bokami trójkąta DEF (rys. 4). Stosując powyższy lemat do trójkątów EDC, FE A, DFB otrzymujemy kolejno:

CD	MD _	(^DicV	AE	KE _	(EiAy	BF	LF	(^FIB V
CE	' EM	\EIoJ ’	af'	FK ~	\FIa) ’	bd'	DL ~	\DIb)

Ponieważ EM = KE, FK = LF oraz DL = MD, więc mnożąc stronami powyższe zależności otrzymujemy

, , £D AE BF _ mię El_A FI_bV (DIę\² Z£7ą)² Z££bV ^U CE ' AF ' BD \EI_C FI_A DI_b)    \DI_b) \EI_c) \FI_a) '

Dalej zauważamy, że

2 [$MDI_C + $I_BDI) = 2 $MDI_C +2$LDI + 2$I_BDL = 180°, skąd $I_bDI = 90°-$MDI_c = $IIcD- Ponadto $I_BID=$DMI_C. Z ostatnich dwóch równości wynika, że trójkąty IDI_B oraz IIcD są podobne.

C

44