img074

CAŁKOWANIE WYBRANYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

Stosujemy więc podstawienie t = tg* i otrzymujemy:

CAŁKOWANIE WYBRANYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

r sin *cos* _f rsn

J--*= I—

^J sin*+cos* ^J «»

sin *cos x

. sin *(cos *)

(tg *)■*=J-

sm*cos* + cos *

-(‘g *)'& =

sin*+cos*

Uwaga 53

Wyżej korzystaliśmy z następujących wzorów (znanych ze szkoły średniej!):

fi    i    (

(5.15) sin²    cos² * = ^-j-y,    sin* cos* = p—j-,    gdzie t = tg*

które należy traktować jako „narzędzia pracy” w trakcie liczenia całek typu (5.1) przez podstawienie t = tg*.

t²dt

Całkę

obliczamy przez rozkład funkcji podcałkowej na ułamki proste (można ją też liczyć, stosując twierdzenie Ostrogradskiego, tj. przez wyodrębnienie z niej części wymiernej):

t^2	A Bt + C Dt + E I

(/ + 1)(/² +l) ,

l² = /ł(r⁴ + 2r² +1)+(fi/ + C)(f +1)+(Dt + E)[t⁵ +1² +1 +1),

/4+D    =    0

£>+£ = 0 2A+B+D+E — 1 B + C+ D+E — 0 A+C+E = 0

A = 4

B = I

^D - -7

£ = i.

Wobec tego

-f—		+i(	• t-i	dt	f-1
.J/+i		2'	(^,2+1l	f 4 J/	^2+l
i	1	C 2/df		f *	1
2	2	V*r		J	4

1(3.7)

74