img070

CAŁKOWANIE WYBRANYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

CAŁKOWANIE WYBRANYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

J_si

sin mx sin nx dx =

1 sin(m+n)x sin(w-n)^

2[_ m + n    m-n

1 . „

--sin 2 nx+C,

An

+ C, gdym*n i m*-n gdy m = ninłO.

Obliczone wyżej całki mają pierwszorzędne znaczenie w teorii szeregów Fouriera, a ściślej w teorii szeregów trygonometrycznych.

Całkowanie wyrażeń postaci ^(sin x, cos x)

Przed wskazaniem metod obliczania całek typu (5.1) przypomnimy parę faktów znanych z algebry. Otóż, jeśli 31 {u, v) jest funkcją wymierną zmiennych rzeczywistych u i v o współczynnikach rzeczywistych, w której występują tylko parzyste potęgi zmiennej u, tzn. jeśli dla dowolnych (u, v) należących do dziedziny JD32 funkcji 31 spełniona jest równość:

(5.3)    32(u,v) =■ 32* (u³, v),

gdzie 32 'jest odpowiednią funkcją wymierną, to spełniony jest też związek:

(5.4)    32(-u,v) = 32{u,v) i to dla dowolnych (-u, v) oraz (u, v) ze zbioru D32.

Nietrudno też stwierdzić, że równość (5.4) oznaczająca, \i.3l jest funkcją parzystą ze względu na pierwszą zmienną, pociąga związek (5.3).

Odnotujmy ten fakt w postaci symbolicznej:

(5.5)    [32{-u, v) = 3l(u, v)]»[&(u, v) = 32 * [u, v)J.

Podobnie stwierdza się, że

(5.6)    [32{u, - v) = 32(u, v)j« [&(u, v) = 32* (u, v²)j.

Jeśli natomiast ^jest funkcją nieparzystą ze względu na pierwszą zmienną, tzn. gdy 32{-u, v) = -.32(u, v), to .32(u, v) = .32*(u², v) dla pewnej funkcji wymiernej 32* i na odwrót.

Aby się o tym przekonać, wystarczy związek (5.5) zastosować dla funkcji postaci -&(u,v). Wobec tego

(5.7)    [32{-u, v) = -32{u, v)] <=>    v) = 32 * (w², v) • u].

Podobnie stwierdzamy, że

(5.8)    [.*(«,- v) = -32(u,v)\«[«(«, v) = 32 *(b, v²)v].

Jeśli zaś ^jest funkcją nieparzystą ze względu na obie zmienne równocześnie (lub inaczej: jest funkcją parzystą ze względu na zespół zmiennych (u, v), tzn. jeśli 32 (-u, -v) = 32 (u, v),

to 32{u,v)=3l\?.-v,vj = ^*|-,v) (oczywiste) dla pewnej funkcji wymiernej 32 *. Wobec tego, na mocy własności (5.8), otrzymujemy:

.32*(—,v) = .32(u,v) = 32(-u, - v) = 32* f—,- vl = 32* f —,- v\

70