0063

65

§ 4. Całkowanie funkcji trygonometrycznych i wykładniczych

Wzory te pozwalają, ogólnie, zwiększać lub zmniejszać wykładnik v lub fi o 2 (poza wspomnianymi wyjątkami). Jeśli oba wykładniki v i /x są liczbami całkowitymi, to przez kolejne zastosowanie wzorów redukcyjnych można sprowadzić całkę do jednej z dziewięciu całek elementarnych odpowiadających różnym kombinacjom wartości v i n równych —1, 0 lub 1:

1)    J dx *■ X ,

2)    J cos x dx — sin x,

6) f j!HŁ dx = -In |cos x\, J cos x

⁷¹ / wr^_N-H •

4)    J* sin xdx = —cos x,

r ■    , sin^:

5)    I sm x cos xax = —-

⁹⁾/

dx

sin x cos x

= ln |tg x|.

288. Przykłady

1) J sin²* cos³xdx. Wyrażenie podcałkowe zmienia znak przy zamianie cos x na —cos x. Podstawienie t = sin x daje

■+C.

J sin²* cos³x dx = J r²(l — i²)dt = -^---~—I-C ‘

/s\n¹x

COSJC

i = cos x daje

—— dx. Wyrażenie podcałkowe zmienia znak przy zamianie sin x na —sin x. Podstawienie

fJin^-dx=- f i* ?/-²⁺¹ dt =    +-jV+C--cos*--— +    -^-+C.

J cos⁴*    J t^A    t 3f³    cos jc 3 cos³*

C dx

3)    j _co&2_x * Wyrażenie podcałkowe nie zmienia swojej wartości przy zamianie sin x na —sin* i cos .r na —cos x. Podstawienie / = tg x daje

f . _Ą^dx ,--/ -^L+-'^ł)1 dt = /- 1—-L-PC - tg x-2 ctgCtg³x+ C.

./ sin⁴*cos²x J t*    t    3r²    3

4)    Jsin²* cos⁴* </*. Tu można użyć tego samego podstawienia, ale łatwiej jest skorzystać ze wzorów na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

sin²* cos⁴ x = 4- sin² 2x (cos 2x+1) = 4- sin² 2x cos 2x+ ~ (1 —cos4x),

8 8 16

f sin²x cos⁴x dx = -ł- sin² 2x+—x--^l— sin 4*+ C.

•>    48    16    64

. Można użyć podstawienia t = sin x, ale łatwiej jest zasto

5)    f__„_L f-

J sin*sin2*    2 J sin²*cosx

sować

1

Rachunek różniczkowy