0065

10)/

§ 4. Całkowanie funkcji trygonometrycznych i wykładniczych

67

dx

A cos² x+2 B sin x cos *+Csin² x dojdziemy za pomocą podstawienia / = tg x do całki postaci

przy AC—B¹>0. Przyjmując, że —    jjt,

/

dt

A + 2Bt+Ct² Ctęx+B

Odpowiedź:    ,/^rjr

ⁿ⁾ /7^7~ f |._tiirt7-) ^du ‘-“^x (-T* <»<■?")■

Rozkładając na ułamki proste

1

(a+A/)(l + /²)    a+bt 1 -ff²

otrzymujemy dla wyznaczenia współczynników A, B, C równania

A-\-bB = 0, aB+bC — 0, A +dC — 1 , A²    b    ~ a

skąd A = ——

n* -

B =

a^l+A² ’    a²+A² ’    a^z+b²

OdDowiedź: —-—arctuH---—In ?^+bt A-C'--

a² + A² * a² + A² /T+7T

1

a²+A²

[a.v+A ln |a cos .r+A sin x|]+ C'.

12) Do tej samej całki można sprowadzić następujące dwie całki:

sin x dx    f cos x dx

r,

= /-

J a<

= /-

./ a(

icos Jc+Asin x *    ^ acos x+A sin X

Zresztą łatwiej je obliczyć wychodząc z wiążących je równości A ^ +a7’₂ = fdx = x+C_lt

-OiTt+bT* = f^siMilęos^^^ f <«.«» *+A sin x) _{b |n |g C0SJr+6 sin x}| ₊ ę_2> J a cos x+A sin x    J a cos x+A sin x

skąd otrzymujemy

1 —r²

r, =

Ti =

1

a²+A²

1

[Ajt—aln |acosx+Asin x|]+C, [ajr+A In |a cos x+b sin x\] -f- C'.

cos x+r²

a²+A²

dx (0 < #■ < 1,    — n < x < jt)

Zastosujemy tu uniwersalne podstawienie t = tg — i otrzymamy

/    TT-eFPO^)-,-' -« (irr')^{ł c}'

^{= arctg}(l37^tgy)^+c-