0061

63

§ 4. Całkowanie funkcji trygonometrycznych i wykładniczych

Cel może tu być osiągnięty za pomocą podstawienia t = tg x (—y w < x < 3 rr), bo R (sin x, cos x) dx = R (t) —itd.

Uwaga. Należy dodać, że każde wyrażenie wymierne R (u, v) można zawsze przedstawić w postaci sumy trzech wyrażeń wymienionego wyżej typu. Można na przykład przyjąć

nf..    _. ^R(^u> «■’) -R(-u, v) , R(—u, v) —R (—u, —v) , R(-u,-v)+R(u, v)

ł\ (W, V)    2    '    2    *"r    2    *

Pierwsze z tych wyrażeń zmienia znak przy zmianie znaku u, drugie zmienia znak przy zmianie znaku r, a trzecie nie zmienia wartości przy jednoczesnej zmianie znaku u i v. Rozbijając wyrażenie R (sin x, cos x) na odpowiednie składniki można do pierwszego z nich zastosować podstawienie t = cosx, do drugiego podstawienie t = sinx i do trzeciego wreszcie podstawienie t = tgx. Tak więc dla obliczania całek typu (1) wystarczą te trzy podstawienia.

287. Całkowanie wyrażeń sin^v x cos" x. Będziemy uważali, że v i fi są liczbami wymiernymi i że zmienna x zmienia się w przedziale (0, |?s). Wówczas podstawienie z = sin² x, dz = 2 sin x cos x dx daje

sin^vx cos" x dx = -|-sin^v-¹x (1 —sin² x)⁽"^_1>/22 sin x cos x dx =

= y(l —z)⁽"-^1>/2z^<v-1)/2dz ,

a więc wszystko sprowadza się do całkowania różniczki dwumiennej [279]

Jsin^T x cos" x dx =-~J(1 -z)⁽"-^1)/2z^(v~^1)/2dz = y    ₍v-n/2 •

Przypominając sobie przypadki całkowalności różniczek dwumiennych widzimy teraz, że nasza całka może być obliczona w postaci skończonej jeśli: 1) (ji—1)/2 (lub (v—1)/2) jest liczbą całkowitą, tzn. jeśli n (lub v) jest liczbą całkowitą nieparzystą, lub 2) jeśli (ji + v)/2 jest liczbą całkowitą, tzn. jeśli n+v jest liczbą całkowitą parzystą.

Należy tu w szczególności przypadek, gdy oba wykładniki fi i v są całkowite, zresztą wówczas wyrażenie sin” x cos" x jest wymierne względem sin x i cos x, tzn. należy do klasy wyrażeń rozpatrzonych już w ustępie poprzednim.

W tym przypadku, jeżeli wykładnik v (lub fi) jest nieparzysty, wyrażenie możemy od razu sprowadzić do postaci wymiernej przez podstawienie t = cos x (lub t = sin x). Jeśli natomiast oba wykładniki v i n są parzyste (jak również gdy oba są nieparzyste), można w tym celu zastosować podstawienie t = tg x lub t = ctg x.

Zauważmy, że jeśli wykładniki v i są liczbami dodatnimi parzystymi, to dogodniejszy jest inny chwyt polegający na zastosowaniu wzorów

sin 2x . ,    1 —cos2x , l + cos2x

sin x cos x = —-—,    sin² x =---, cos²x = -^-•