0067

69

§4. Całkowanie funkcji trygonometrycznych i wykładniczych

289. Przegląd innych przypadków. W ustępie 271,4 widzieliśmy już, jak całkuje się wyrażenia typu

P (x) e“ dx, P (x) sin bx dx,    P (x) cos bxdx,

gdzie P (x) jest wielomianem. Warto zaznaczyć, że wyrażeń ułamkowych

e* , sinx , cosx .    .    . . „    .

— dx, -^—dx,    — dx    (n — 1,2,3,...)

nie można już scalkować >v postaci skończonej.

Całkowaniem przez części łatwo jest wyprowadzić dla całek z tych wyrażeń wzory redukcyjne i sprowadzić je odpowiednio do trzech całek podstawowych

	^r — dx =	rdy
	X	J lny
"J	^ sin x ^ r cos x ,	— si x
m.j	^! dx	= ci x

Znamy już [271, 6)] całki

_e ,    . a sin bx—b cos bx _

I e°^xsm bx dx =-₅—rr-e^ttx+C.

J    a² + b²

_r „    . b sin hx+acos bx „    _

| e“ cos x dx —-=—T5-e“+C.

J    a² + b²

Biorąc je za punkt wyjścia można obliczyć w postaci skończonej całki jx”e^ax sin bxdx,    Jx"e^ax cos bx dx.

gdzie n = 1,2,3,... Całkując mianowicie przez części otrzymujemy

/_„ ...    „ a sin bx+bcos bx

a² + b²

x V sin bx dx = x"-,-e°^x-

--5—rr f x"^-1 e**sin bxdx+ ,^W^_Łł f x"^-1e“cos bxdx,

a² + b² J    a² + b² J

nb

a² + b²

J* x"^-1 e“ si

sin bxdx—

na

a²+b²

J^x~‘

^-1e“*cos bxdx.

(') Podstawienie x = In y.

(²) Zresztą we wszystkich trzech wypadkach należy jeszcze ustalić stałą dowolną. Zrobimy to później.