0637

639

§4. Uzupełnienia

i funkcja <p (x) jest również całkowalna, to

lim / M*) dx = J <p (jc) dx.

Dowód. Przyjmiemy na razie dodatkowe założenie, że funkcje f,(x) są nieujemne

/.W > 0

że ich granicą jest zero:

(1)    lim/.M = 0.

n-»«o

Przy tym założeniu trzeba udowodnić, że

b

(2)    lim J/,(*) dx = 0 .

Weźmy ciąg liczb dodatnich {tj.} zbieżny do zera. Dla każdego n rozkładamy przedział <a, 6> na części </<*> (i = 1,2, 3,..., A„) w taki sposób, aby odpowiednia suma dolna Darboux

*■ = 1!o

i«i

spełniała nierówność

b

o < j f.(x) dx~s, < rj„ .

a

Teraz oczywiście

b

lim [J/„O) </x—r,] = 0

i dla udowodnienia (2) wystarczy stwierdzić, że

(3)    lim s_n = 0.

■-•■JO

W tym celu pokażemy, że dla dowolnie małych liczb e>0 i <5>0 istnieje taka liczba N, że dla n>N suma długości tych przedziałów </)”’ n-tego rozkładu, którym odpowiadają kresy dolne #»{*’>« będzie nie większa niż 6.

Przypuśćmy mianowicie, że jest przeciwnie. Wtedy dla ciągu nieskończonego wartości n

n = ni, n₂.....n_k, ...

suma długości tych przedziałów dla których m'"⁰ > e byłaby większa od <5. Do rodzin D_k tych przedziałów można zastosować lemat z poprzedniego ustępu. Zgodnie z tym lematem istniałby w przedziale <a, ó> punkt c należący do nieskończonego zbioru rodzin D_k. Zatem nierówność

Mc) > e

zachodziłaby dla nieskończonego zbioru wartości n, co przeczy założeniu (1), które ma być spełnione również dla x «= c. Tak więc liczba N istnieje; niech teraz będzie n>N. Oznaczmy przez i' i i" numery tych przedziałów n-tego rozkładu, dla których

/nj"’ < s lub m¹’] > e .

O Przez d'^,} oznaczamy zarówno sam przedział, jak i jego długość; oznacza kres dolny funkcji /(*) w przedziale