S6300945

u ramce ciągów

• Przykład 1.5

Korzystając z definicji granicy właściwej ciągu uzasadnić podane równości:

a) Jim —r—— = 0; »-oo n² + 4

, „    y/9n*+l    ₀

c) lira -= 3;

b) lim

2 n

n—* oo n + 1

= 2;

d) lim log_n+1 5 — 0;

e) lira v^5 = 1;

_ w

f) Hm t-= _i.

n—*oo 2ⁿ + 3ⁿ

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy definicję granicy właściwej ciągu (a_n):

lim On - o -Ś4 A \/ A {(n > no) =» (|a„ - aj < e)).

n—• oo    * '    ^{¥ f 1}

€>0 no€H n€N

a) Mamy pokazać, że

A V A [<” >««>)=> (l^nrs

e>0 no€N n€N

Niech e będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy wskazać liczbę no € N taką, że dla każdego n > no spełniona będzie nierówność    — — < £• Dla n € N nierówność ta jest

kolejno równoważna nierównościom

n² + 4 > - <=> n >--4.

£ £

mmm

, ■