60588

Zestaw 7

1. Korzystając z definicji granicy (właściwej lub niewłaściwej) c iągu wykazać, że:

.    2 n² + 5

(^a) ^lun „2,1 = ²> n—oo n-¹ + 1

(b) lim

2n — 7

= 0,

(c) lim (l — 3ri²) = — oo.

2. Obliczyć granicę (o ile ist nieje) ciągu (a_n), jeśli

(a) a_n = n 4- v^/2«² - n³,    (b) a„ = - sin    (c) ci„ = i 4- sin ^:i^,    (d) a„ = V2" +    + eⁿ,

fl o    fl    o

(e) «„ = 2 "cos(nxr),

(f)

(g) «n =

v/»³ + 1 1 - 2n ‘

(^h) On =    ^ ₂ * / l” et.³    r ^{(i) =} ” l^{ln (n} + 3) - M. U) = 2 " • 8^",

vn³ 4- 2n* -f- 3 + vf»® + n — 1

log₂(n⁵)    _m 2" • 3²"    , .    3" - 5 • 2"⁺¹

W ^_    °ⁿ ~ %n-1

(k) a_n =

loggii

3""¹ 4-3-2"

(n) a_n =

(3n)! ‘

3. W zależności od wartości występujący cli parametrów obliczyć lim On, jeśli

n—oo

(a) a„ = Y^^xk (\^x\ <    0>) «n =

1

14J"’

. .    12    n

(c) On = -T 4- -T 4-... 4- -r-n* n*    n*

Interpretacja geometryczna !

5. Wykazać, że jeśli ciąg (x_n) jest ograniczony oraz lim y_n = 0, to lim (x_ny_n) = 0.

n—oo    fi—oc

6. Załóżmy, że ciąg (:r„) C IR nie jest ograniczony. Czy można twierdzić, że lim |ar„| = 4-oo ?

n—oo

«i > —1, a_n+i =

v'

1 4- On 2

fl € N.

1

Zbadać zbieżność ciągu (a„) określonego w sposób rekurencyjny: