egzaminza3

1. Na podstawie definicji granicy ciągu punktów z rozszerzonej prostej wykazać, że 2 n³ — n² + 1    2

n—*oo Zn³ -2n + 2 ~ 3'

1 4- cos 3x

2. Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji f(x)

x — 7T

O

dla x ± TT

' t

dla x = 7r

3. Wyznaczyć ekstrema i asymptoty funkcji f(x) =

2x² — 5x + 4

2 — x

określonej dla x ^2.

4. Zbadać zbieżność punktową i jednostajną ciągu funkcji /_n(x) = x³ⁿe

,3n„—2nx

dla x > 0.

5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego osiami 0X ,OY i wykresem funkcji f(x) = -—. . w^{X +}    ——rr    dla x > 0.

(x + l)(x + 2)(x + 4)

6.    Obliczyć objętość obszaru Dcl³ ograniczonego płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x,y) = y⁴ określonej na trójkącie ABC, gdzie A = (—4,0), B = (4,0), C = (0,2).

7.    Wyznaczyć ekstrema funkcji f{x, y, z) = e^_2x(y² + 2z² — x²) określonej na IR³.

8.    Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji /(x, y) = 2x³ + 3y³ na kole x² + y² < 13.

9. Dla ustalonego p € (0,1) określamy na zbiorze liczb naturalnych N miarę y postaci fj,({k})=p^k 1(l-p) dla k = 1,2,3,.... Wykazać, że y jest miarą unormowaną i obliczyć

J p^2kdy(k) .

miarę zbioru liczb naturalnych podzielnych przez 3 oraz całkę