9 (843)

50

Ciągi liczbowe

Granice ciągów

O Ćwiczenie 1.2.2

Korzystając z definicji uzasadnić podane równości:

x 1 — 3n a) hm --= -3;

n—>oo 1 -j~ n

c) lirn (/a = 1, gdzie a > 0;

n—»oo

> ,.    4 - n¹

e) hm -5-— = -1;

n->oo n-'⁵ + n

b) lim

n—>oo 2ⁿ -f- 1

= 0;

d) lim sin — = 0;

71—+00    12

f) lim ŚE+1 ₌ o.

n—>oo    n

Rys. 1.2

2. Ciąg (a_n) ma granicę r równości lim a_n — — oo, \

n—>oo

A

£<0 r

Obrazowo: ciąg ma granicę są mniejsze od dowolnie m<

można pisać a_n —> — oo, i

71 —7 CO

o Ćwiczenie* 1.2.3

Niech lim a_n = 2, lim b_n = 4. Uzasadnić, że:

Tl—* OD    n—>oo

a) lim sgn

= -l;

b) lim min {a_n, &_n} = 2.

n—> oo

O Ćwiczenie 1.2.4

Niech lim a_n = 3. Uzasadnić, że

n—>oo

a)    jeżeli ciąg (a„) jest rosnący, to lim [a_nJ = 2;

n—► oo

b)    jeżeli ciąg (a_n) jest malejący, to lim la_nJ = 3.

n—>oo

O Ćwiczenie* 1.2.5

Obliczyć podane granice:

a) lim

n—too

4n+ 1

b) lim

n—>oo

3 — n n¹ + 1

£\-

@ Twierdzenie 1.2.6 (o jednoznaczności granicy ciągu)

Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

Rys. 1.2.3.

Uwaga. O ciągach z granic; odpowiednio do oo lub do granic niewłaściwych, są a_n

⁰ Ćwiczenie 1.2.8

Korzystając z definicji uzasc

a) lim (2ⁿ — 5) = oo;

n—>co

c) lim (3 — log₂ n) = —oo;

?l—*CO

@ Definicja 1.2.7 (granice niewłaściwe ciągu)

1. Ciąg (a_n) ma granicę niewłaściwą oo, co symbolicznie zapisujemy w postaci równości lim a_n — oo, wtedy i tylko wtedy, gdy

n—>oo

A V A [(^{n> n}°) ^ (^an > £) ■

£>0 no€N n6N

Obrazowo: ciąg ma granicę niewłaściwą oo, gdy dostatecznie dalekie wyrazy tego ciągu są większe od dowolnie dużej liczby (rys. 1.2.2). Zamiast równości lim a_n =

TL—>00

oo można pisać a_n ——> oo. Można również pisać krótko lim a_n — oo lub a_n —» oo.

1

n + 1