028

Monotoniczność ciągów

a = 20- (n + 1)

Teraz korzystamy z definicji ciągu malejącego. Ciąg jest malejący, gdy różnica a , - a < 0 dla każdego n > 0.

il-1    i:    °

^a„-\ ~ ^a„ ⁼ 20 - (n + 1) - (20 ~n) =

= 2Q— fi — 1    + fi = — \ < 0    redukujemy wyrazy podobne

Odpowiedź

Różnica jest ujemna, zatem ciąg (a ) jest malejący, co zapisujemy krótko («„) N

ZADANIE 7

Wykaż, że ciąg u_n = jest malejący.

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy następny wyraz ciągu, tzn.

2

^U"-' ii + 1

Teraz korzystamy z definicji ciągu malejącego. Ciąg jest malejący, gdy różnica u_)rr, - u_n < 0 dla każdego u > 0

2 2

2«

2(u +1)    2/1 - 2(/i + 1)

/;(/!+1) n(n+l) - 2 -2

ii(ii +

= sprowadzamy do wspólnego mianownika

<0

redukuję wyrazy podobne

/!(//- 1)    //(/l-r-l)

Otrzymana różnica jest ujemna, ponieważ -2 jest liczbą ujemną, a /:(/? + 1) jest liczbą dodatnią, ponieważ u jest liczbą naturalną (dodatnią).

Odpowiedź

Ciąg (u ) jest malejący.

28