058

Ciąg geometryczny

Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji ciągu geometrycznego, z której wynika, że iloraz dowolnego wyrazu i wyrazu bezpośrednio poprzedzającego jest wielkością stałą dla danego ciągu, czyli

16-8^5    ,    ,    , . ,    56-24^5

iloraz-=- musi bvc co do wartości równy-^ ,

6-2V5    16-8\5

16 - 8^5 ? 56 - 24^5 6-2^5 ” 16-8^5

Tę równość spróbujemy sprawdzić, wykonując mnożenie „na krzyż”.

(i c

7 = - <=> a ■ a = b ■ c b a

(16-8^5) (16 - 8n'5) = (6 - 2^5) (56 - 24^5)

Teraz wykonujemy zaznaczone działania po lewej i prawej stronie równania: L (16 - 8V5) (16- 8^5) = (16- 8^)² =

= 16² - 2 • 16- 8^ + (8VŚ)² =

= 256 - 256<5 + 64 • 5 = 256 + 320 256^5 = 576 - 256^5 P (6 - 2V5) (56 - 24a/5) =

= 6 ■ 56 - 6 • 24\'5 - 2<5 ■ 56 + 2V5 • 24 V5 =

= 336 - 144 V5 - 112^5 + 48 • 5 =

= 336 + 240 - 256^5 = 576 - 256^5

Po lewej i po prawej stronie równania uzyskaliśmy tę samą liczbę 576 - 256^5.

To oznacza, że ilorazy są równe, czyli liczby: 6 - 2\^5; 16 - 8"V5; 56 - 24\^|(5 tworzą ciąg geometryczny.

TO WARTO ZAPAMIĘTAĆ!

Trzy liczby x,y, z (różne od zera) tworzą ciąg geometryczny, gdy kwadrat środkowej liczby równa się iloczynowi skrajnych, czyli y² = x ■ z.

58