054 3

Ciąg geometryczny

ZADANIE 6_____

Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane a = 3, n = 5, a_n = 12, znajdź:

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy q (iloraz ciągu geometrycznego).

W tym celu posłużymy się wzorem a_n = a, ■ q" '

12 = 3 ■ q^}~¹ 3 -q^A=\2 /: 3 ty⁴ = 4 (<7²)^: = 4 stąd

do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania

rozwiązujemy równanie potęgowe, korzystając ze wzoru

(cf)² = ryty² = 2 lub <y² = -2

^ (to równanie nie ma rozwiązania) <y² = 2

stąd

q = -V2 lub q = V2 i

Teraz znajdujemy S_n (sumę /t początkowych wyrazów ciągu).

I - q"

W tym celu posłużymy się wzorem S_n = a, •    _ —

Ponieważ uzyskaliśmy dwie wartości ilorazu ( \2 oraz ^2) sumę obliczamy osobno dla q = ~^2 i osobno dla q - V2.

Dla q = -V2

_S|,.₃.Lrt^=3 .Irt*

¹²    1 - H2)    1 + \2

= 3    ~63    -189

1 +    1 + V2

Dla q =

„    „ 1 - (V2)¹²    1-64

S = 3--=3--=■ =

¹²    1 - -Ł 1 - -te

54