scan

Zad.8.

Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i mając dane a, = 2; ( q= 3; S„= 6560 znajdź: n; a_n.

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy n (liczbę wyrazów ciągu geometrycznego)

W tym celu posłużymy się wzorem

.±z£

\-q

⁵56⁰ = 2.i-|

do wymienionego wzoru podstawiamy dane z zadania

6560=/-6560 = -1(1-3”)

-1(1-3") =6560

-1 + 3" = 6560

3" = 6560 + 1 3" = 6561

teraz rozwiązujemy równanie wykładnicze, zastępując 6561 potęgą trójki

3" = 3⁸ n = 8

ponieważ podstawy są równe, porównujemy wykładniki

Teraz znajdujemy a_n (n—iy wyraz ciągu geometrycznego)

„_i

W tym celu posłużymy się wzorem a_n = a_xq

a_g = 2 3    do wymienionego wzoru podstawiamy

dane z zadania

u_g = 2 • 3⁷ = 2 • 2187 = 4374 Odp. n = 8; a₈ = 4374

Zad.9.

Wykaż, że podane liczby tworzą ciąg geometryczny:

6 - 2 V5; 16 - 8 V5; 56 - 24 V5

Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji ciągu geometrycznego, z której wynika, że iloraz dowolnego wyrazu i wyrazu bezpośrednio poprzedzającego jest wielkością stałą dla danego ciągu, czyli

iloraz    musi być co do wartości równy Jfc~24V5

6-2V5    ^J 16-8V5

czyli

16-8^5 l 56-24^5 6-2<5    16-8V5

Tę równość spróbujemy sprawdzić wykonując mnożenie "na krzyż".

~~ =~~~    <=> ad = bc

b d

(16-8V5>(16-8V5) = (6-2 V5> (56 - 24 V5)

Teraz wykonujemy zaznaczone działania po lewej i prawej stronie równania:

L    (16-8V5)(16-8V5) =(16-8V5)² =

= 16²-2-16-8^5 + (8 V5)² = 256 - 256V5 +64•5 =

= 256 + 320 - 256 V5 = 576 - 256 V5 P    (6-2^5X56 - 24^5) = 6-56-6-24 V5-2V5-56 + 2^5-24^5 =

= 336 - 144 V5 - 112 V5 + 48 • 5 = 336 + 240 - 256 V5 =

= 576-256V5

Po lewej i prawej stronie równania uzyskaliśmy tę samą liczbę

576-256 VI

To oznacza, że ilorazy są równe, czyli liczby:

6-2'l5; 16-8V5; 56-24^5 tworzą ciąg geometryczny.

53