img071

CAŁKOWANIE WYRAŻEŃ POSTACI J!(smx,cosx)

Teraz korzystamy ze związku (5.6) i otrzymujemy:

Dlatego też

(5.9)    [i?(-u,-v) = ć?(u,v)]<=>

(dla odpowiednich u, v!), gdzie M ** jest pewną funkcją wymierną dwóch zmiennych rzeczywistych o współczynnikach rzeczywistych.

Uwaga 5.1

Ponieważ każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci

v) = j[&(u, v) - M{-u, v)J+![&(-u, v) -    v)j +    - v) + M{u, v)j.

więc każdą taką funkcję można zapisać następująco:

(5.10)    &(u,v)=<%_l(u,v)+&i(u,v)+M_i («,v),

gdzie My jest funkcją (wymierną) nieparzystą ze względu na pierwszą zmienną,    jest funkcją

(wymierną) nieparzystą ze względu na drugą zmienną, zaś jest funkcją (wymierną) nieparzystą ze względu na obie zmienne równocześnie.

Uwaga 5.2

Z dotychczasowych rozważań wynika też, że

(5.11)    jeśli funkcja podcałkowa całki (5.1) jest nieparzysta ze względu na sinx (tzn.&(-sinx, cos*) = -£%{ńnx, cos*)), to

(5.7)    ,    '

^(sin x, cos *) = 91 * (sin² x, cos *) ■ sin * = 9Z_X (cos *) ■ (cos *)

(5.12)    jeśli funkcja podcałkowa całki (5.1) jest nieparzysta ze względu na cosx (tzn. 9l{sin*,- cos*) = -,5ę(sin*,cos*)), to

(5.8)    ^    /

,5?(sin*,cos*) =    (sin*,cos²*)■ cosx- 9^ (sin*)-(sin*) ,

i wreszcie

(5.13) jeśli funkcja podcałkowa całki (5.1) jest nieparzysta równocześnie ze względu na sin x i cos* (tzn. ^(-sinx, - cos*) = i?(sin*, cos*)!), to

,^(sin*,cos*) = ^**| ilM., cos²*|cos²*—= ć& (tg*) (tg*) , ^v    (cos*    )    cos *

1

bo

1+ tg²*

* * *

gdzie    oraz 9?^ są funkcjami wymiernymi już tylko jednej zmiennej rzeczywistej

o współczynnikach rzeczywistych.

Uwaga 5.2 stanowi podstawę do sformułowania ważnego twierdzenia.

71