img073

CAŁKOWANIE WYRAŻEŃ POSTACI jSfsill JT.COS jr)

Podkreślmy jednak wyraźnie, iż podstawienie / = tg^ (będziemy je nazywać podstawieniem uniwersalnym dla całki (5.1) jakkolwiek rozwiązuje problem całkowania funkcji postaci

^(sinx, cosx),

to w praktyce rachunkowej jest ono często kłopotliwe. Dlatego też stosujemy je w ostateczności, tj. dopiero po stwierdzeniu, iż nie można zastosować któregoś z podstawień podanych w twierdzeniu 5.1.

PRZYKŁADY

5.1. Aby obliczyć całkę

dx

sin x(l - cos x)

cos X

zauważmy, iż w tym przypadku

. .    . sinx(l-cosx)

^(sin x, cos x) =-ⁱ--

l + cosx

oraz, że

.    \ -sinx(l-cosx) . .    .

sin x, cos x) =---- = -,^(sin x,cosx).

l + cosx

U = -f^£(cosx)'«fc = f    J

Jl + cosx^V    ’    IJt + l J,_=co„ [i t+1 l

Zgodnie więc z twierdzeniem 5.1, podstawiamy t = cosx i otrzymujemy: rsinx(l-cosx) _ r 1 —cosx ,

l + cosx

= (r - 2 ln|/ + 1|)_IM0,_X = cos x - 2 ln(cos x +1)+ C.

5.2. Jeżeli ć?(sinx,cosx):=sin² xcos³ x, to ^jest funkcją nieparzystą ze względu na cosx. Do całki

Jsin² xcos³ xdx

stosujemy więc podstawienie t = sinx i otrzymujemy:

Jsin²xcos³xrfx = Jsin²x^l-sin²x)(sinx)'(źc = Qt²(l-f²)ćftj =

1.₃ 1 . 5 „

= -sinx—sin x+C.

5.3. W całce

dx

r sin x cos x J sinx+cosx

mamy:

. .    . sm²xcosx

(sin x, cos x) =-,

sinx+cosx

a poza tym

.    .    , (-smx) (cosx) -sin²x-cosx sin²xcosx    ,

sin x, - cos x) = -—_;——-- = ——-r = —-= Msm x, cos x).

-smx-cosx -(sinx+cosx) sinx+cosx

73