img059

CAŁKOWANIEFUNKOI NIEWYMIERNYCH POSTACI    łfa + c

Proponuję Czytelnikowi ustalenie w jakim przedziale została obliczona zadana całka (proszę jeszcze raz przeczytać twierdzenie 2.5 o całkowaniu przez podstawienie).

Twierdzenie 4.3 można uogólnić w ten sposób, aby odnosiło się ono do szerszej klasy funkcji podcałkowych.

TVierdzenie 4.4

Całkę postaci

(4.14)

j

_W,(x)

(x- A)^k(x- B)^m...(x-C)"Jax² + bx+c

dx.

gdzie A, B,..., C, a,b,c e R (zobacz też uwagę 4.1), W, jest wielomianem stopnia l e Nu {0} zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych oraz k, m,n e Nu {0},przy czym k + m + ... + n >1, można wyznaczyć stosując następującą procedurę:

1° rozłożyć na ułamki proste funkcję wymierną

W,(x) (x-A)^k(x-B)^m...(x-Cy

2° skorzystać z twierdzenia 2.3 i zastosować odpowiednią ilość razy twierdzenie 4.3.

PRZYKŁADY

xdx

4.8. Całka

(x-l)'yTx

ma postać (4.14) (l = 1, k = 2, A = 1) i możemy zastosować procedurę zaproponowaną w twierdzeniu 4.4:

x (x-l)+l    1    1

-    - + -

(x-l)²    (x-l)² x-l (x-l)²

I;

xdx

-I;

dx

dx

(x-l)Vx² + 1    ¹(x-\)^l?T\ (x-l)²Vx² + 1

Teraz do obu całek po prawej stronie ostatniej równości podstawiamy -i- -1 (twierdzenie 4.3), a więc

*=y+l = <!>(')> <P'(0 = -j2’ ^t=^zi = <P-i(4

Wobec tego, np. dlax > 1 (t > 0), otrzymujemy:

( . \ . \

1

dx

(x-l)Vx²+l

-f—

^J V2r*7

‘f¹

2t+2

rdt

= --ln 2

= |^-Iln|4t + 2 + 2^2(2t²+2i + 2) l+X~Vx² +1

1

*x-l

1 — X

+ C,,

59