img055

CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH POSTACI U'_l{x)/'Jax’+bx*c

oraz

CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH POSTACI U'_l{x)/'Jax’+bx*c

V-a*-

itf

2-J-a _ ₂ J-a

Va

V-a*—

2ax + b

2-J^a J Va

Wykorzystując ostatnie równości we wzorze (4.6) oraz dokonując bardzo prostych przekształceń, otrzymujemy

1

dx

ra

-In

(4.7)

•Jax² +

bx+c

2ax+b+2^a(ax² + bx+cj 1

Vw

+ C, gdy a > 0,

1    2ax + b _

arcsin——+C,    gdy a < 0.

Va

Powróćmy teraz do całek typu (4.4), dla których można wykazać następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4.2

f-r ^W‘^W

^J ijax² +bx+c    ^J ~Jax² +

Jeżeli Ijest liczbą naturalną (/ e N), to całkę (4.4) można przedstawić w postaci: w, to .....r-T-.— „r dx

bx+c

(4.8)

lub też w postaci równoważnej W,(x)

(4.9)

•<Jax² +bx+c ■

V_M (x)Jax²+bx + c

K

■Jax² +bx+c,’

gdzie V_lAjest wielomianem stopnia l -1 zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych, K zaś jest stałą.

Współczynniki wielomianu V_ul oraz stałą K wyznaczamy z równości wielomianów:

(4.10)    2 W,{x) = 2K,'_,(x)(rtf^J +bx+c)+V,^{xf2ax+b) + 2 K,

którą otrzymujemy mnożąc obustronnie równość (4.9) przez 2■Jaz² +bx + c.

Twierdzenie 4.2 wraz ze wzorem (4.7) pozwala dość sprawnie obliczać całki typu (4.4). PRZYKŁADY

4.4. Stosując twierdzenie 4.2 do całki

J

x-x + l ■Jx² +2x + 2

dx.

otrzymujemy:

l

x-x+\

x+2x+2

dx = ^Ax² + Bx+C^iJ x² +2x+2 + Kj

dx

x²+2x+2^-

55