img048

48

Przykłady

1,    Proponujemy czytelnikowi sprawdzić, ze funkcja f:ftⁿ3 x-»—    ■

1    ..    I 1

r "    1- i

“ ! • ' ^xi ² j«»t ^ci*⁹*^{a w} zbiorze e Rⁿ: 0 <\x\ < i} » B. Nie Jest L i^l -1

cna jednak w tym zbiorze jednostajnie cięgła, jeśli bogiem x, ycB i d(x.y)c 6. natomiast długość wektora x Jest dostatecznie bliska zera, to różnica f(x) - f(y) ■ ^- i, może być dowolnie duża,

2,    Funkcjs f:R9x —+ aln i Jeat cięgła w zbiorze jxeR: 0<.x< jr^,

ale nie Jest w tym zbiorze Jednoetajnie cięgła (dlaczego?),

3,    Funkcja fiR 3x-*x² Jeat cięgła na całej osi liczbowej, ale nie

0\ rj

jest na niej Jednostajnie cięgła, ponieważ x -y * (x-y)(x+y) i waru-

2 2

nek lx-yl<Ó nie implikuje ograniczenia x -y przez etałę.

Twierdzenie 4,7. Deśli (Z,d) Jest kompaktem i f:Z—+R Jest funkcję cięgłę w zbiorze Z, to f Jest jednostajnie cięgła w Z.

Dowód, Przypuśćmy, że f nie Jest jednostajnie cięgła w Z, tzn, istnieje £₀>° takie, że dla każdego »e N istnieję cięgi    |y^CZ,

dla których

«*.?)<; i *|f<5) - f(yi | > e₀    (<.l>

1 2

'ia mocy kompaktyczności przestrzeni (Z,d), z cięgu x,x,..« można wybrać podclęg zbieżny. Nie zmniejszajęc ogólności rozumowania przyjmujemy, że lim x = x€ Z. Stęd, korzystajęc z pierwszego członu koniunk-cji (4.1' or8z z nierówności d(y,x)4d(y,5) ♦ d(x,x) otrzymujemy lim y ■ x. Ale funkcja f Jest cięgła w punkcie x, zetem lim f(x) *

ff, ~+ao    ® ^ OO

* lim f(y) » f(£), czyli lim I f (?) - f(y)l » O, co Jest sprzeczne in —►co    a —» oo

z drugim członem koniunkeji (4.1),

Uwaga. Twierdzenia 4.5 i 4,6 noszę nazwę uogólnionego twierdzenia Weierstrassa, zaś twierdzenie 4.7 zwane Jest uogólnionym twierdzeniem Keinego o jednostajnej zbieżności.

Henryk Fóv»rd Heine 'l6 II lS2i - 21 X 188i, -matematyk niemiecki, zajmował się fizyką matematyczną (teorią potencjału', równaniami cząstkowymi, e przede wszystkim teorie; funkcji ^to Heine wprowadził termin "funkcje cylindryczne"/. i'*iele swych proc poświęcił zac*dDieniu jodno-zrsczności szeregów tryponornetryrznv?h.