3813100779

Zadanie 22. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że funkcje są rozwiązaniami jednowymiarowego równania falowego (32).

Zadanie 23. Pokazać, że wyprowadzone wcześniej przez nas postacie równania fali (patrz równania (6-^8)) są także rozwiązaniami równania falowego (32).

Zadanie 24. Pokazać, że jeśli zastąpimy funkcję cos występującą w wyprowadzonych wcześniej równaniach fali (6-^8)) przez funkcję sin, to tak otrzymana funkcja jest także rozwiązaniem równania falowego (32).

Zadanie 25. Do pionowej ściany przymocowany jest za jeden koniec cienki sznurek, na którego drugim końcu przewieszonym przez bloczek wisi ciężarek o masie m_c = 20kg. Długość sznurka / = 5 m, a jego masa m_sz = 0.2 kg. Wyznaczyć prędkość c fali poprzecznej w tym sznurku.

Zadanie 26. Czy można wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g w warunkach z zadania poprzedniego, jeśli znamy: czas r przelotu fali poprzecznej od początku do końca sznurka, l, m_az i ra_c?

Zadanie 27. Pokazać, że funkcje: (A) y(x,t) = ln[6(:r — ct)], (B) y(x,t) = exp[6(a: — et)], (C) y(x,t) = x² + c²t², (D) y(x,t) = sin(a;)cos(iot) są rozwiązaniami równania falowego. Czy funkcje (C) i (D) są postaci f (x + ct) + g(x — ct)²⁸?

4.3. Prędkość impulsu poprzecznego w strunie

Wyprowadzenie prędkości fali zaprezentowane powyżej można nieco uprościć. Przedstawiamy to poniżej dla poprzecznego impulsu rozchodzącego się wzdłuż struny.

Niechaj, tak jak poprzednio, mały odcinek struny o długości Al tworzy, pod wpływem biegnącego w ośrodku impulsu falowego, wycinek koła o promieniu R (patrz rysunek). W układzie odniesienia poruszającym się z impulsem (jego prędkość jest stała) odcinek Al porusza się pod wpływem siły wypadkowej F_wyp = 2F sin(0) ~ 2FO. Mały segment ma masę Am — pi • Al ~ 2piRG (patrz rysunek). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki wartość siły dośrodkowej

(34)

R    R

Rozwiązanie tego równania względem c daje

2_Pjms_=2F0

Jest to więc ten sam wynik, ale otrzymany bez założenia o jakimkolwiek kształcie impulsu rozchodzącego się w ośrodku.

Zadanie 28. Dwa impulsy, rozchodzące się po tej samej strunie, są opisywane równaniami

,    _    0.05

^y^^X,t’ (3Ckr-45t)² + 2’

,    ,    -0.05

^V^^X' (30i + 45t-33)² + 2'

W którym kierunku porusza się każdy z nich? Po upływie jakiego czasu oba impulsy zniosą się wzajemnie (możemy mówić o anihilacji impulsów)? W którym miejscu ośrodka to się zdarzy? Zadanie 29. Falę poruszająca się wzdłuż osi OX opisuje równanie y(x,t) = 2,0exp[-(x + 10i)²],

gdzie y, x w metrach, a t w sekundach. Określić kierunek rozchodzenia się fali oraz jej prędkość

²⁸W przypadku (C) mamy y(x,t) = (1/2)[(a: + ct)² + (a: — ct)²]. W przypadku (D) należy zauważyć, że jeśli ma być spełniona równość l/2sin(a:) cos(ci)t) = (l/2)[sin[(a + b)/2] cos[(a — 6)/2] = sin(o) + cos(b), to powinny zachodzić związki a; = (o + 6)/2 i ct = (o — 6)/2 skąd wyznaczamy a = x + ct oraz b = x — ct

16