5469091769

2.3 Pochodne formalne

Niech f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Załóżmy, że funkcje u(x,y) i v(x,y) są różniczkowalne w punkcie Zq = (x₀, y₀). Wyprowadzimy wzory na pochodne formalne f(z).

(2.1)

df = du + idv =(u'_xdx + u' dy) + i(y'_xdx + v' dy) =(u'_xdx + iv'_xdx) + (u¹ dy + iv' dy)

df,

= ^~dx + —dy. ax dy

Ponieważ dz = dx + idy \ dz — dx — idy, to

1,

dx ~ -(dz + dz),

^dy=2i^idz-

dz).

(2.2)

Wstawiając (2.2) do (2.1) otrzymamy

dy)

i⁹-¹-

\dx

.df\

(2.3)

df , df

=~ź~dz + -£zdz. oz oz

Definicja 2.6.

Pochodne formalne funkcji f(z) definiujemy następująco:

(df	df\	df 1	(dl	+i^8/j
\dx	dy)’	dż'~ 2 '	\dx	By)

df.

dz

Twierdzenie 2.4 (warunek różniczkowalności funkcji w postaci zespolonej)

Niech f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Zakładamy, że funkcje u(x,y) i v(x,y) są różniczkowalne w punkcie Zq — (xo, yo). Wtedy funkcja f(z) ma pochodną w punkcie zo — Xo + iyo wtedy i tylko wtedy gdy %(^zo) = 0.

Dowód Korzystając z definicji pochodnej formalnej mamy, że

d£

dz

1 (df ,df\ 1 , .    . .    ,    . ... i , ,    ,    .    . ...

2\d^ ⁺ %) ⁼ 2^^{Ux + w}* ^{+ l}^^Uy + *v'⁼ 2 (^u* ~ ^vy⁺    + wy>> •

Zauważmy, że warunek %(zq) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy u_x(xo,yo) = v'_y(xo,yo) i u'_y(xo,yo) = —v_x(xo,yo), czyli gdy spełnione są warunki Cauchy’ego-Riemanna w punkcie z₀.    □

13