0639

641

§4. Uzupełnienia

Twierdzenie 2. Załóżmy, że funkcja f(x, y) określona dla x z przedziału <a, by i y z obszaru y jest ograniczona

\f{x, y)| < L (L = const)

całkowalna względem x w przedziale <a, by przy ustalonym y. Jeżeli dla wszystkich x istnieje funkcja graniczna

<P W = lim/(jr, y) (')

»->»»

również całkowalna H' <o, by, to

(5)    lim j f(x, y)dx = J <p (x) dx .

»*'o,    „

Wystarczy zastosować twierdzenie 1 do funkcji /«(*) = f(x, y.), gdzie {y.} jest dowolnym ciągiem wartości y z y dążącym do y₀. Otrzymujemy wtedy równość

b    b

lim //(x, y.) dx = j <p W dx ,

równoważną z równością (S).

527. Różniczkowanie pod znakiem całki. Opierając się na twierdzeniu Arzeli łatwo można otrzymać następujące twierdzenie, które jest odpowiednikiem i uogólnieniem twierdzenia 3, z ustępu 507.

Twierdzenie 3. Załóżmy, że funkcja f(x, y) określona w prostokącie <a, b; c, rf> jest całkowalna względem x w <a, by dla dowolnego, ustalonego y z <c, dy. Załóżmy dalej, że w całym prostokącie istnieje pochodna cząstkowa f'_y(x, y) również całkowalna względem x i pochodna ta traktowana jako funkcja dwóch zmiennych jest ograniczona

\f’,{x, >01 < L (L = const, a <x <b, c <y <d).

Wówczas dla funkcji

liy) *= / f(x, y) dx

a

prawdziwa jest równość

I'(y) = ffi(x,y)dx

M

dla dowolnego y z przedziału <c, dy.

Dowód. Biorąc — podobnie jak w dowodzie twierdzenia 3 z ustępu 507 [por. (11)] — ustaloną

wartość y — y₀, mamy

I(yo+k)-l(y₀) ₌ f f(x,y₀+k)-f(x,y₀) .

k    J    k

0

Zgodnie z twierdzeniem Lagrange’a

« fUx, y_o+0k) , k

a więc wartość bezwzględna funkcji podcałkowej, zależnej od x i k, jest dla wszystkich wartości tych zmiennych ograniczona przez stałą L. Stosując tu twierdzenie 2 możemy pod znakiem całki przejść do granicy przy k -*■ 0, otrzymując w ten sposób dowodzoną równość.

(') Zakłada się przy tym, rzecz jasna, że w obszarze y możliwe jest przejście graniczne przy y -*■ y₀.

01 Saehtinnlr