0409

411

§ 3. Zastosowania

O tym, że funkcja ta spełnia wyjściowe równanie można się łatwo przekonać przechodząc w równości (11) do granicy, gdy n -*■ oo. Pozostaje jeszcze do udowodnienia, że nie ma innych wartości y, oprócz wyznaczonych przez nią, które spełniałyby równość (7*). Rzeczywiście, gdybyśmy dla pewnego x, obok (7*), mieli

y* = x₀+<p (x, y*),

to odejmując i szacując różnicę wartości <p, otrzymalibyśmy

\y-y*I — |<p (x, y)—ę (x, y*)| < A - |y-y*|,

a to jest niemożliwe, gdy y*^y.

Stąd wynika, że

y (-To) - yo;

co jest zresztą od razu widoczne, gdyż wszystkie y„(x₀) = y_a.

Twierdzenie zostało więc udowodnione w rozpatrywanym szczególnym przypadku. Przypadek ogólny łatwo daje się sprowadzić do przypadku szczególnego, a mianowicie: równanie (7) piszemy w sposób następujący:

. r ^F(*<y) 1

^y=y^[^y-^y°-'ru^M\>

co można utożsamić z (7*), przyjmując

, _x    F(x,y)

•P(x,y) = y-y₀-_rf{xoty_or

Funkcja ta spełnia warunki (8*), w szczególności drugi z nich, gdyż q>_y (x₀, yo) jest równe 0.

Jak już mówiliśmy, przedstawione postępowanie ułatwia także efektywne przybliżone obliczenie szukanej funkcji y U). Błąd powstały przy zastępowaniu y (x) przez y„(x) można łatwo oszacować, ponieważ reszty szeregu (12) są majoryzowane przez odpowiednie reszty postępu geometrycznego (13). Stąd właśnie otrzymujemy

Iy M-y.MI < A ■ A" (» = 1,2,3,...).

Bardzo pouczające będzie porównanie przeprowadzonego dowodu z dowodem twierdzenia o funkcji uwikłanej z ustępu 206. Tam mieliśmy czysty dowód istnienia, tu zaś konstrukcję szukanego obiektu.

W podobny sposób można udowodnić efektywnie ogólne twierdzenie z 208. Ograniczyliśmy się do najprostszego przypadku, żeby lepiej poznać istotę metody.

443. Analityczna definicja funkcji trygonometrycznych. Czytelnik widział jak ważną rolę w analizie odgrywają funkcje trygonometryczne. Tymczasem są one wprowadzane za pomocą czysto geometrycznych rozważań, całkowicie obcych analizie. Dlatego zasadnicze znaczenie ma zagadnienie określenia funkcji trygonometrycznych i badania ich ważniejszych własności środkami samej analizy. Szeregi nieskończone są właśnie tym narzędziem, za pomocą którego możemy to zrobić. Poświęcimy więc ten ustęp badaniu funkcji trygonometrycznych, korzystając z ich definicji analitycznej. Będzie to przykład zastosowania wyłożonej poprzednio teorii.

Rozpatrzmy więc dwie funkcje C (x) i S (x) określone formalnie w zbiorze wszystkich wartości rzeczywistych x przez szeregi wszędzie zbieżne

CO    CO

Zy2g    'Ł ^    y 2 S— 1

SM - > (-D-¹ „*    ■,

(2n)!    Z_j    (2/1-1)!

n«l    rtw 1

nie utożsamiając ich bynajmniej ze znanymi już wcześniej funkcjami cos x i sin x. Mieliśmy już raz do czynienia z funkcjami w ten sposób określonymi [390, 7)]. Za pomocą mnożenia szeregów można dla nich wyprowadzić, jak tam zauważyliśmy, dwa podstawowe wzory

(14)    C(jt+j«)= C(x)C(y)-S(x)S(y),