Granica i ciaglosc fukcji strp 71

Granica i ciaglosc fukcji strp 71



(zakładamy, że ułamek ten jest nieskracalny), to / (x) = -. Pokazać, że funkcja ta,

zwana funkcją Riemanna, jest ciągła w punktach wymiernych.

w punktach niewymiernych i nie

58. Udowodnić, że każde równanie stopnia n nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych, tzn. równanie postaci x" + aB_,x*_, + ...+a1x + a0 =0, ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

59. Obliczyć następujące granice

x‘-xy+f

k)

c) .J™o.o,i*T7’

d) lim

(«.y)-(0.0) (x2+y2)x2y2


60. Zbadać ciągłość następujących funkcji:

a) f(x,y) = <

dla

(x,y)*(0,0)

l o

dla

(x,y) = (0,0),

b) f(x,y) = <

dla

(x,y)*(0,0)

l 0

f x*—y*

dla

(x,y) = (0,0),

c) /(x,y) = <

[x4+/

dla

(x,j»V(0,0)

l o

dla

(x,y) = (0,0),

d) f(x,y)=<

dla

(x,y)*(0,0)

l 0

dla

(x,y) = (0,0).


x2y2

61. Niech f(x,y) = ^2y2+^x_y^2    (x,)0 ^ (0,0). Pokazać, że granice

iterowane

(Jl™^)*    (J™ f(*» ■y)).

istnieją i są równe 0, ale nie istnieje granica lim f(x,y).

62. Wykazać, że istnieje granica

lim (-X + y) s>n - sin -,

<*.,>-<o.o)    x y

ale nic istnieją granice iterowane

lim^lim (x + y)sin^sinlim ^lim (x+y)sin^sin ^


63.    /badać ciągłość funkcji /: IR -* ft. określonej wzorem I /(x) «• [x] sin nx.

64.    Pokazać, że jeśli funkcje /,</:/-* IR są ciągłe (/ oznacza przedział), to ftinkcje

I    ę(x) = max {/(x),0(x)}, ^(x) = min \f(x),g(x)}

■ft są ciągłe na /.

65.    Niech /: / -* IR będzie ciągła, gdzie 1 jest przedziałem. Pokazać, że funkcja / : / -* IR, określona wzorem

Jut ciągła i rosnąca na /.

66.    i Idowodnić. że funkcja /: [a, + co) -* IR, która jest ciągła na [a, + oo) Rllt która nic jest ograniczona ani z góry ani z dołu na tym przedziale, przyjmuje ■Bidą wartość rzeczywistą nieskończenie wiele razy.

[    67. Niech I będzie przedziałem i niech /:/-»IR. Określmy funkcję

Bit , IR, przyjmując, że

M • #(/,E) = sup {\f(y)—f (x)|:x,ye/,|x—y| < e},

(Ha * > 0. Funkcję e -» w(x,e) będziemy nazywać modułem ciągłości funkcji /. B Pokazać, że / jest jednostajnie ciągła na I wtedy i tylko wtedy, gdy Hm tv(/,e) = 0.

6H. Wykazać, że jeśli funkcja /: IR -* IR jest jednostajnie ciągła na IR, to 1611110311 takie liczby a 0 oraz b ^ 0, że |/(x)| s? a|x|+fe, dla każdego xelR.

69.    Pokazać, że funkcja /: IR -» IR określona wzorem /(x) = x sin x, spełnia twierdzenia z zad. 68, ale nie jest jednostajnie ciągła na IR.

70.    Mówimy, że funkcja /:/ -* IR (/ jest przedziałem, a nawet dowolnym |ii>ilzbiorem zbioru IR) spełnia na I warunek Lipschitza ze stałą L > 0, jeżeli

I l/M—/OOI < L\x-y\

•Ilu x,yel.

Pokazać, że funkcja / spełniająca warunek Lipschitza na / jest jednostajnie ciągła na /.

71.    Załóżmy, że / :/-»IR jest taką funkcją, że istnieją stałe L > 0 oraz (0.1] takie, że

\fix)-/M*L\x-yr

ł) funkcji / mówimy wtedy, że spełnia warunek Hóldera (ze stałą L i z wykładnikiem «).

Pokazać, że każda funkcja spełniająca warunek Hóldcru jest jednostajnie


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Granica i ciaglosc fukcji strp 71 (zakładamy, że ułamek ten jest nieskracalny), to / (x) = -. Pokaza
Granica i ciaglosc fukcji strh 69 , Pokazać, że funkcja /:lRł - R,:* + / dla (x,y)#(0,0)f(*.y) - jes
Granica i ciaglosc fukcji strh 69 , Pokazać, że funkcja /:lRł - R,:* + / dla (x,y)#(0,0)f(*.y) - jes
Granica i ciaglosc fukcji strf 67 GRANICA I CIAOUWC FUNKCJI q są stałymi.„. Iim20. lim </x im(%/x
Granica i ciaglosc fukcji stre 85. Udowodnić następujące twierdzenie, zwane twierdzeniem Stolza Jeże
Granica i ciaglosc fukcji zad 1 35 odpowiedzi przyjmując <0 - ł> - O oraz p„ - ^=—t (n - 1,2,.
Granica i ciaglosc fukcji zad6 54 odpowiedzi irczy napisać .16. 0. Aby to udowodnićI xy I 1 37. &nbs
Granica i ciaglosc fukcji zadT 61 odpowiedzi 284 .    2(C°, >- )(C°łil+0 >n»»&n
Granica i ciaglosc fukcji zad6 54 odpowiedzi 2X2 ,W>. 0. Aby to udowodnić wystarczy napisać***-^
Granica i ciaglosc fukcji zadT 61 odpowiedzi 284 .    2(C°, >- )(C°łil+0 >n»»&n
022 2 5)    model granic koincydentnych (Kronberg-Willson 1949r.), zakładający, że zi
Granica i ciaglosc fukcji strf 67 OMNICA , CUOUJie HlNMII OMNICA , CUOUJie HlNMII • p i q są stałymi
Granica i ciaglosc fukcji stre H5. Udowodnić następujące twierdzenie, zwane twierdzeniem Stolza Jeże
MATEMATYKA097 186 LU Rachunek różniczkowy Zakładając, że funkcje x(t) i y(t) są funkcjami klasy C na
032 8 *5.8. Pochodna funkcji W rozdziale tym zakładamy, że funkcja / jest określona w pewnym przedzi
178 III. Pochodne i różniczki 24) Zakładając, że funkcja f(x) ma pochodną / (■*)> napisać pochodn
178 III. Pochodne i różniczki 24) Zakładając, że funkcja f(x) ma pochodną / (■*)> napisać pochodn
178 III. Pochodne i różniczki 24) Zakładając, że funkcja f(x) ma pochodną / (■*)> napisać pochodn

więcej podobnych podstron