(zakładamy, że ułamek ten jest nieskracalny), to / (x) = -. Pokazać, że funkcja ta,
zwana funkcją Riemanna, jest ciągła w punktach wymiernych. |
w punktach niewymiernych i nie | |
58. Udowodnić, że każde równanie stopnia n nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych, tzn. równanie postaci x" + aB_,x*_, + ...+a1x + a0 =0, ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. | ||
59. Obliczyć następujące granice | ||
” x‘-xy+f |
k) | |
c) .J™o.o,i*T7’ |
d) lim («.y)-(0.0) (x2+y2)x2y2 |
60. Zbadać ciągłość następujących funkcji:
a) f(x,y) = < |
dla |
(x,y)*(0,0) | |
l o |
dla |
(x,y) = (0,0), | |
b) f(x,y) = < |
dla |
(x,y)*(0,0) | |
l 0 f x*—y* |
dla |
(x,y) = (0,0), | |
c) /(x,y) = < |
[x4+/ |
dla |
(x,j»V(0,0) |
l o |
dla |
(x,y) = (0,0), | |
d) f(x,y)=< |
dla |
(x,y)*(0,0) | |
l 0 |
dla |
(x,y) = (0,0). |
61. Niech f(x,y) = ^2y2+^x_y^2 (x,)0 ^ (0,0). Pokazać, że granice
iterowane
istnieją i są równe 0, ale nie istnieje granica lim f(x,y).
62. Wykazać, że istnieje granica
lim (-X + y) s>n - sin -,
<*.,>-<o.o) x y
ale nic istnieją granice iterowane
lim^lim (x + y)sin^sinlim ^lim (x+y)sin^sin ^
63. /badać ciągłość funkcji /: IR -* ft. określonej wzorem I /(x) «• [x] sin nx.
64. Pokazać, że jeśli funkcje /,</:/-* IR są ciągłe (/ oznacza przedział), to ftinkcje
I ę(x) = max {/(x),0(x)}, ^(x) = min \f(x),g(x)}
■ft są ciągłe na /.
65. Niech /: / -* IR będzie ciągła, gdzie 1 jest przedziałem. Pokazać, że funkcja / : / -* IR, określona wzorem
Jut ciągła i rosnąca na /.
66. i Idowodnić. że funkcja /: [a, + co) -* IR, która jest ciągła na [a, + oo) Rllt która nic jest ograniczona ani z góry ani z dołu na tym przedziale, przyjmuje ■Bidą wartość rzeczywistą nieskończenie wiele razy.
[ 67. Niech I będzie przedziałem i niech /:/-»IR. Określmy funkcję
Bit , IR, przyjmując, że
M • #(/,E) = sup {\f(y)—f (x)|:x,ye/,|x—y| < e},
(Ha * > 0. Funkcję e -» w(x,e) będziemy nazywać modułem ciągłości funkcji /. B Pokazać, że / jest jednostajnie ciągła na I wtedy i tylko wtedy, gdy Hm tv(/,e) = 0.
6H. Wykazać, że jeśli funkcja /: IR -* IR jest jednostajnie ciągła na IR, to 1611110311 takie liczby a 0 oraz b ^ 0, że |/(x)| s? a|x|+fe, dla każdego xelR.
69. Pokazać, że funkcja /: IR -» IR określona wzorem /(x) = x sin x, spełnia twierdzenia z zad. 68, ale nie jest jednostajnie ciągła na IR.
70. Mówimy, że funkcja /:/ -* IR (/ jest przedziałem, a nawet dowolnym |ii>ilzbiorem zbioru IR) spełnia na I warunek Lipschitza ze stałą L > 0, jeżeli
•Ilu x,yel.
Pokazać, że funkcja / spełniająca warunek Lipschitza na / jest jednostajnie ciągła na /.
71. Załóżmy, że / :/-»IR jest taką funkcją, że istnieją stałe L > 0 oraz (0.1] takie, że
ł) funkcji / mówimy wtedy, że spełnia warunek Hóldera (ze stałą L i z wykładnikiem «).
Pokazać, że każda funkcja spełniająca warunek Hóldcru jest jednostajnie