9742848382

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, IILO w Chełmie

Zauważmy, że funkcja ta przekształca zbiór punktów w R₊ u{0}. Należy sprawdzić warunki metryki podane przy jej określeniu.

1. Jeżeli A pokrywa się z B mamy d(A,B) = 0, pierwszy z warunków jest spełniony.

2. Jeżeli punkty się pokrywają odległość od A do B i od B do A jest taka sama i wynosi 0, jeżeli punkty są różne to odległość również jest taka sama i wynosi 1, zatem drugi warunek jest spełniony.

3. Aby sprawdzić trzeci warunek zauważmy, że albo trzy punkty się pokrywają i odległość wynosi 0, co spełnia nierówność trójkąta. Albo dwa się pokrywają np. A z B się pokrywają, C jest od nich różny, mamy wtedy: |AB| + \BC\ > \AC\ to znaczy 0+1 > 1 itd. Albo trzy punkty są różne, otrzymamy wtedy 1 +1 > 1. Zatem w każdym przypadku nierówność trójkąta także jest spełniona.

W ten sposób określona funkcja jest odległością, nazywamy ją metryką dyskretną.

4. Określmy funkcje d\ i dj odwzorowujące pary punktów w zbiór liczb rzeczywistych

w następujący sposób: d_{(A,B) = max(|A6|,l), d₂{A,B) = min(|AZ?|,l). Która z tak określonych funkcji jest odległością?

Funkcja d_t odległością być nie może, ponieważ zawsze jest większa od 0. Sprawdźmy, czy odległością jest funkcja d₂. Odwzorowuje ona zbiór punktów w R₊ u{0}. Ponadto:

1. Jeżeli A i B się pokrywają to |Afi| = Oco oznacza, że d₂(A,B) = min(|AZł|,l) = 0, więc warunek pierwszy metryki jest spełniony.

2. d₂(A,B) = min(|AZł|,l) = min(|fiA|,l) = d₂(B,A), warunek drugi metryki spełniony jest także.

3. min(|Afl|,l) + min(|fiC|,l) > min(|AC|,l) gdyż mamy |AZ?| + |fiC|>|AC|, zatem trzeci warunek metryki jest spełniony i zdefiniowana przez nas funkcja jest odległością.

5. Przypomnijmy znany ze szkoły sposób konstrukcji trójkątów.

Wybieramy jeden z odcinków za podstawę trójkąta. Kreślimy okrąg o środku w początku wybranego odcinka i promieniu równym drugiemu odcinkowi. Kreślimy okrąg o środku w końcu wybranego odcinka i promieniu równym trzeciemu odcinkowi. Jeżeli okręgi się przetną to, punkt przecięcia jest trzecim wierzchołkiem trójkąta.

Na podstawie, którego aksjomatu możemy wnosi, że ta konstrukcja w ogóle jest wykonalna?

Chodzi oczywiście o aksjomat ciągłości Dedekinda a w zasadzie jego mocniejszą wersję dotyczącą linii a nie tylko prostych. Gdyby okrąg nie był krzywą ciągłą to punkt przecięcia dwóch okręgów mógłby wypaś w takiej właśnie „dziurze”. Nie istniałby, zatem trzeci wierzchołek trójkąta i cała konstrukcja byłaby niemożliwa.