8903649924

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, IILO w Chełmie

Co należy zapamiętać ?

•    tautologia (prawo logiczne) jest zdaniem prawdziwym przy wszelkich możliwych logicznych wartościach zdań składowych,

•    zdanie wewnętrznie sprzeczne jest zaprzeczeniem tautologii,

•    kwadrat logiczny oznacza, że implikacja prosta i przeciwstawna, odwrotna i przeciwna mają jednakową wartość logiczną,

•    metoda zero-jedynkowa polega na zupełnym wartościowaniu wszystkich zdań składowych, które wchodzą do dowodzonego zdania złożonego.

Co ponadto warto wiedzieć?

Prawa Dunsa Scotusa —i p^> {p => q), z dwóch zdań sprzecznych —ip oraz p wyprowadza dowolne zdanie. Innymi słowy, jeżeli na jakimś etapie rozumowania dopuścimy fałsz, to całe rozumowanie może doprowadzić do dowolnych wniosków. Znana jest anegdota, którą opowiadają o wielkim filozofie, matematyku i logiku brytyjskim Bertrandzie Russellu.

Pewien człowiek usłyszawszy o twierdzeniu, że ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne zdanie, zapytał Russella czy ze zdania 2 + 2 = 5 może on wyprowadzić wniosek, że jest papieżem. Russell na to odpowiedział: „Odejmijmy od obu stron tej równości 3, otrzymamy 1 = 2. Jeśli więc Pan twierdzi, że ja nie jestem papieżem, to papież i ja jesteśmy dwiema osobami. Zatem {wobec 1 = 2) papież i ja jesteśmy jedną osobą. ”

Przyjmując prawdziwość zdania, że dla każdej liczy a istnieje iloraz b:a wyprowadzimy wniosek, że 1 = 2.

a = a a^{1 2 3 4 5 6} =a²

a(a - a) = (a + a)(a - a) I: {a-a) a = a + a a = 2a\:a 1 = 2

W tym pseudo dowodzie popełniono błąd w trzeciej linijce, gdyż obie strony podzielono przez {a - a) równe oczywiście 0. Jest to dopuszczalne, ponieważ przyjęliśmy fałszywe zdanie, że iloraz istniej dla dowolnego dzielnika, więc i dla 0.

Zadnia przeznaczone do samodzielnego rozwiązania {ważniejsze tautologie rachunku zdań).

1. Przedyskutuj i uzasadnij metodą zero-jedynkową tautologie, których nie dowodziliśmy, lub uzasadnij poprzez bezpośrednie rozumowanie tautologie wcześniej dowiedzione.

14

1

   Zasada tożsamości: p <=> p

2

   Zasada podwójnego przeczenia: p <=> —<(—ip)

3

   Zasada wyłączonego środka: pv—\p

4

   Zasada sprzeczności: —1(—\p a p)

5

   Przemienność koniunkcji i alternatywy: p Aq <^> q a p, pv q <=> qv p

6

   Łączność koniunkcji i alternatywy: {p Aq)Ar o p a {q a r), (pv^)vr» pv{qv r)