8903649936

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, IILO w Chełmie

z czynności nie zostanie wykonana całe zdanie złożone będzie nieprawdziwe. Zdanie „Dwa jest większe od zera i trzy jest mniejsze od zera” jest nieprawdziwe, gdyż druga jego część (po spójniku „i”) pozostaje fałszywa. Zdanie „Koń ma pięć nóg i osiołek ma skrzydła” jest fałszywe ze względu na każdą część składową. Rozważania te prowadzą do następującej definicji koniunkcji:

p	q	p ^Aq
1	i	i
0	i	0
1	0	0
0	0	0

Definicja 3 (definicja koniunkcji) _

Koniunkcja dwu zdań jest prawdziwa, jeżeli każde ze zdań składowych jest prawdziwe. W przeciwnym wypadku koniunkcja dwu zdań jest zdaniem fałszywym.

Zauważmy, że łącząc koniunkcję oraz negację możemy podać przykład zdania złożonego zawsze fałszywego:

pAhp) (2)

Nie może przecież się zdarzyć, że zdania p oraz —i p będą oba prawdziwe, co zapewniłoby prawdziwość zdania złożonego (2). Ten typ wypowiedzi ilustruje następujący przykład: „Jestem tutaj i nie ma mnie tutaj”. Skoro nie mam mnie tutaj, to jestem gdzie indziej, więc Jestem tutaj i jestem gdzie indziej” oznaczałoby, że jestem w dwóch miejscach naraz, co nie jest możliwe. Zaprzeczenie zdania (2) jest zdaniem złożonym zawsze prawdziwym. Zdanie złożone zawsze prawdziwe nazywa się tautologią albo prawem rachunku zdań. Tautologią jest, więc zdanie:

->(p a (-./>)) (3)

Prawo (3) nazywa się zasadą sprzeczności, czytamy je „z dwóch zdań p oraz nie p, jedno jest fałszywe”. Innymi słowy dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie prawdziwe. Koniunkcja stanowi przykład funktora dwuargumentowego.

Innymi ważnymi funktorami dwuargumentowymi są alternatywa zdań oznaczana symbolem pv q, implikacja o poprzedniku p i następniku q inaczej zwana wynikaniem, oznaczana symbolem p => q , oraz równoważność zdań oznaczana symbolem p <=> q. Definicje tych funktorów przedstawimy w postaci jednej tabeli 1.

Definicja 4 (definicja alternatywy, implikacji i równoważności)

p	q	pvq	P=>9	p<^q
1	i	1	1	1
0	i	1	1	0
1	0	1	0	0
0	0	0	1	1

Tabela 1