8903649937

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

Zauważmy, że alternatywa jest fałszywa tylko przy obu fałszywych zdaniach, w przeciwnym wypadku alternatywa jest prawdziwa. Implikacja jest fałszywa tylko przy prawdziwym poprzedniku i fałszywym następniku (z prawdy nie może wynikać fałsz), w pozostałych przypadkach implikacja jest prawdziwa. Równoważność jest fałszywa w przypadku zdań o różnych wartościach, dla zdań o jednakowych wartościach logicznych równoważność jest prawdziwa. W języku potocznym alternatywę realizuje spójnik „lub”.

Przykład 4

1.    Pójdę do kina lub pójdę na spacer.

2.    3>3 łub 3 = 3.

3.    Ziemia jest planetą lub Ziemia jest gwiazdą.

4.    Koń ma skrzydła lub koń ma płetwy.

Zdania (1)...(3) są prawdziwe, chociaż niektóre z ich zdań składowych mogą być fałszywe. Zdanie (4) jest fałszywe gdyż oba człony są fałszywe. Koń nie ma przecież skrzydeł i nie ma płetw.

Implikację w języku potocznym opisujemy konstrukcją, .jeżeli p, to q". Poprzednik implikacji nazywa się niekiedy przesłaną a następnik wnioskiem. Początkowo trudno jest oswoić się z faktem, że implikacja jest prawdziwa pomimo fałszywości poprzednika lub fałszywości poprzednika i następnika. Wartości implikacji nie należy utożsamiać z wartościami zdań składowych. Dla przykładu wypowiedź: , Jeżeli dzisiaj jest poniedziałek, to jutro jest wtorek” z pewnością jest implikacją prawdziwą pomimo, że dzisiaj wcale nie musi być poniedziałek a jutro wcale nie musi być wtorek.

Przykład 5

5.    Jeżeli liczba kończy się cyfrą parzystą, to liczba jest parzysta.

6.    Jeżeli koń ma skrzydła, to koń ma 4 nogi.

7.    Jeżeli koń ma cztery nogi, to koń ma skrzydła.

8.    Jeżeli 8<2, to 2<0.

Tylko implikacja (7) jest fałszywa, o czym można przekonać się oglądając dowolnego konia, który ma 4 nogi i pomimo tego nie ma skrzydeł. Implikacja (5) jest w oczywisty sposób prawdziwa. Implikacja (6) również jest prawdziwa, aby ją obalić musielibyśmy spotkać konia ze skrzydłami i stwierdzić, że nie ma czterech nóg. Podobnie prawdziwa jest implikacja (8), pomimo obu fałszywych zdań składowych.

Ostatni z omawianych funktorów nazywa się równoważnością. Równoważność jest prawdziwa, jeżeli oba zdania składowe mają tę samą wartość logiczną (oba są prawdziwe lub oba są fałszywe). Można podać bardzo wiele przykładów zdań równoważnych, ograniczymy się do kilku.

Przykład 6

9.    Zdanie ,jest zimno” jest równoważne zdaniu „jest niska temperatura”.

10.    Zdanie „koń ma skrzydła” jest równoważne zdaniu „koń ma płetwy”.

11.    Zdanie „smoki zieją ogniem” jest równoważne zdaniu „krasnale mają czerwone czapeczki”.

12.    „132 dzieli się przez 6” jest równoważne zdaniu „132 dzieli się przez 3 i 132 dzieli się przez 2”.