9742848393

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

nie przecinają. Ten pozornie oczywisty pewnik stał się przyczyną wielu dyskusji przez 2000 lat po Euklidesie. Przede wszystkim matematycy podejrzewali, że można go wyprowadzić z pozostałych aksjomatów. To się jednak nie udało i stwierdzono, że V postulat Euklidesa jest niezależny od pozostałych. Zauważono, że spora grupa twierdzeń nie korzysta w dowodzie z tego aksjomatu. Ponadto można otrzymać ciekawe twierdzenia, jeżeli V postulat zastąpi się jego zaprzeczeniem. Innymi słowy, jeżeli się założy, że prostych równoległych do danej i przechodzących przez konkretny punkt może być kilka (a nawet nieskończenie wiele) lub może w ogóle nie być takiej prostej, to można będzie budować geometrie różne od tradycyjnie pojmowanej. Różne warianty V postulatu pozwoliły na konstrukcje różnych geometrii.

Mamy zatem:

a)    geometrię absolutną, geometria w której odrzucono V postulat Euklidesa, innymi słowy wszystko co się da udowodnić bez posługiwania się V postulatem (bądź jego modyfikacjami) należy do geometrii absolutnej,

b)    geometrię euklidesową, geometria, w której obowiązuje V postulat Euklidesa, szkolny kurs geometrii jest właśnie geometrią euklidesową,

c)    geometrię nieeuklidesową, geometria, w której zamiast V postulatu wprowadzono jego zaprzeczenie, w zależności od sposobu przeczenia istnieje kilka typów geometrii nieeuklidesowych.

Dodatkowo geometrię zwykle dzieli się na planimetrię - geometrie płaszczyzny i stereome-trię - geometrię przestrzeni. Ustalmy jeszcze ważne pojęcie figury geometrycznej, będziemy przez nią rozumieli dowolny zbiór punktów położony na płaszczyźnie (w przypadku planimetrii) lub w przestrzeni (w przypadku stereometrii).

Relacje. Pierwotną relacją, którą przyjmujemy za zrozumiałą jest przystawanie odcinków. Chociaż nie określiliśmy jeszcze odcinka, zakładamy, że każdy rozumie, co ten termin oznacza. Przystawanie odcinków można opisywać następująco: nałóżmy jeden odcinek na drugi odcinek, tak, że ich wszystkie punkty będą się pokrywały, taką parę odcinków uznamy za przystającą. Oczywiście odcinki przystające mają jednakową długość, ale nie na odwrót. Jeżeli z końca pierwszego odcinka usuniemy jeden punkt to jego długość się nie zmieni natomiast przestanie on być przystający do drugiego odcinka. Bardzo ważne, aby długości z przystawaniem nie utożsamiać. Niebawem określimy, co rozumiemy przez długość i stanie się jasne, że długość a przystawania to zupełnie różne pojęcia.

1.    Zauważmy, że odcinek przystaje sam do siebie (odcinek a leży przecież we wszystkich punktach na odcinku a).

2.    Jeżeli odcinek a przystaje do odcinka b, to zarazem odcinek b przystaje do odcinka a (jeżeli wszystkie punkty a leżą na b to i wszystkie punkty b leżą na a).

3.    Jeżeli odcinek a przystaje do odcinka b, odcinek b przystaje do odcinka c, to odcinek a przystaje do odcinka c (punkty, które leżą na b leżą zarazem na c, ponieważ c leży na b).

O relacji spełniającej warunki 1, 2, 3, mówi się, że jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, co w matematyce nazywa się relacją równoważności. Dzieli ona zbiór, na którym jest określona na elementy równoważne między sobą (klasy abstrakcji). Zatem przystawanie odcinków dzieli zbiór wszystkich odcinków na klasy abstrakcji, które nazywamy odcinkami przystającymi i które są w pewnym sensie nierozróżnialne, np. mają tę samą długość.

3