8903649938

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

W punktach (10), (11) oba zdania składowe są fałszywe. W punkcie (12) zdania składowe są prawdziwe. W punkcie (9) pomimo, że nie możemy stwierdzić czy zdania w tym momencie są prawdziwe („zimno” to uczucie na ogół subiektywne, jednemu jest zimno innemu w tym czasie zimno nie jest) zdania składowe mają bez wątpienia tę samą wartość logiczną. Równoważność w języku potocznym realizuje konstrukcja „wtedy i tylko wtedy q, gdy p". Analizując definicję implikacji i równoważności widzimy, że ta ostatnia jest prawdziwa przy obu prawdziwych implikacjach p=> q oraz q=> p. Odwracając znak implikacji możemy ostatni warunek zapisać następująco p <^q . Oznacza to, że równoważność traktować można jako koniunkcję dwóch implikacji (zauważmy, że symbol równoważności nawiązuje do tej interpretacji). Używając poznanej już symboliki logicznej można ten fakt zapisać następująco:

(/><=><?)<=> [(p => q) a (q => p)]

Co należy zapamiętać?

• koniunkcja dwu zdań jest prawdziwa tylko w przypadku prawdziwości obu zdań,

• alternatywa dwu zdań jest fałszywa tylko w przypadku fałszywości dwu zdań,

• z prawdy nie może wynikać fałsz,

• równoważność oznacza koniunkcję implikacji i implikacji do niej odwrotnej,

• zasada sprzeczności orzeka, że z dwóch zdań p oraz nie p, jedno jest fałszywe”.

Co ponadto warto wiedzieć?

Policzmy ile jest wszystkich funktorów dwuargumentowych. Zauważmy, że pokazane w lewych (szarych) kolumnach wartości dla zdań p oraz q w tabeli z Definicji 4 wyczerpują wszystkie możliwości. Dwa zdania mogą być albo oba prawdziwe, albo oba fałszywe albo jedno z nich może być prawdziwe a drugie fałszywe. Do każdej z tych możliwości przypisano określoną wartość zdania złożonego ze zdań składowych i funktora (w przypadku koniunkcji prawa kolumna tabeli z Definicji 4). Wszystkich funktorów, dwuargumentowych będzie tyle, ile jest możliwych rozkładów zer i jedynek na czterech pozycjach. Na pierwszej pozycji mamy dwie możliwości (zero lub jedynkę) do każdej z tych dwu możliwości mamy kolejne dwie dla drugiej pozycji (razem mamy, więc 2 • 2). Do każdej z owych 2 • 2 możliwości na trzeciej pozycji mamy kolejne dwie, co daje razem 2-2-2. Do każdej z tych 2-2-2 możliwości na ostatniej, czwartej, pozycji mamy ostatnie dwie możliwości, razem, więc jest 2 • 2 ■ 2 • 2 = 2⁴ =16 możliwych rozkładów zer i jedynek na czterech pozycjach. W takim razie istnieje 16 funktorów dwuargumentowych.

Oprócz alternatywy realizowanej spójnikiem „lub” w logice rozważa się alternatywę wykluczającą realizowaną spójnikiem „albo”. Alternatywa wykluczająca prawdziwa jest wyłącznie przy różnych wartościach zdań składowych („wykluczamy” przypadek gdy oba zdania są prawdziwe).

Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania.

1. Jakie funktory występują w poniższych zdaniach? Zapisz je używając symboliki logicznej.

a) Jacek poszedł do kina i Placek poszedł do kina.

b) Ala ma kota lub Ala ma psa.

c) Jeżeli Ala nie ma kota, to Ala ma psa.

d) Jeżeli a dzieli się przez b i b dzieli się przez a, to a = b.

e) Jeżeli a = b to, a dzieli się przez b i b dzieli się przez a.