8903649932

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

Powyżej pokazaliśmy trzy przykłady rozumowań logicznych, które w prosty sposób rozwiązują wcale nie banalne problemy. Jednym z celów nauki matematyki jest takie wyćwiczenie umysłu aby podobne rozumowania same się nam nasuwały. Zaczniemy od elementarza, którym jest właśnie logika matematyczna. Zauważmy już na wstępie, że logika operuje na zdaniach albo inaczej na wypowiedziach. Niejako „przygląda się im” i ze zdań prostszych buduje zdania złożone. Istnieje bardzo wiele przykładów w języku potocznym, które natychmiast ujawniają nielogiczność używanych wypowiedzi, „większa połowa” czy „w sumie, razem” są typowymi przykładami niechlujstwa językowego, ale także do powiedzenia „prosty odcinek” można mieć zastrzeżenia, wszak krzywe odcinki nie istnieją. To, co intuicyjnie rozumiemy przez zdanie należy doprecyzować. Przyjmijmy, więc definicję:

Definicja 1 (definicja zdania w sensie logicznym)

Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wypowiedź orzekającą, której można przypisać jedną z dwóch wartości: prawdę (oznaczaną 1) lub fałsz (oznaczany 0).

Zwykle zdania oznaczamy literami p, q, r .W myśl naszej definicji zdaniami w sensie logicznym są wypowiedzi:

1.    Ziemia jest planetą.

2.    Koń ma pięć nóg.

3.    Dwa jest mniejsze od zera.

Zauważmy, że zdanie pierwsze jest prawdziwe, możemy mu przypisać wartość 1. Zdania drugie i trzecie są fałszywe, przypisujemy im wartość 0. Zdaniami w sensie logicznym nie są wypowiedzi:

4.    Czy Ala ma kota?

5.    Dziesięć jest dużą liczbą.

6.    Poza Ziemią istnieje życie.

Pierwsza z powyższych wypowiedzi nie jest orzekająca, lecz jest zdaniem pytającym. Wypowiedzi druga i trzecia, pomimo, że są orzekające, nie są zdaniami w sensie logicznym gdyż nie można im przypisać ani prawdy ani fałszu. Dziesięć w porównaniu z miliardem jest liczbą niewielką, ale w porównaniu z minus miliardem, całkiem sporą. Podobnie w chwili obecnej nie możemy twierdzić, że poza Ziemią istnieje życie, ale nie możemy też temu zaprzeczyć.

Ćwiczenia

Które z podanych zdań jest zdaniem w sensie logicznym i jaką można przypisać mu wartość, odpowiedź uzasadnij.

a)    Jacek i Placek ukradli Księżyc.

b)    Co widziała Alicja po drugiej stronie lustra?

c)    7>3

d)    Kwadrat nie ma równych boków.

e)    Trójkąt to ładna figura.

f)    Niektóre liczby parzyste dzielą się przez 3.

g)    Odcinek zawiera dużo punktów.

h)    Odcinek zawiera nieskończenie wiele punktów.

i)    Smoki zieją ogniem.

j)    Istnieją liczby, których suma jest mniejsza od każdego składnika.

3