8903649931

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

2. B = {x: x² = l} B oznacza zbiór liczb będących rozwiązaniem równania x² = 1, zatem jest to zbiór dwuelementowy {-1, l}.

3. C = {y: y² <0j C jest to zbiór pusty <t>, ale zbiór {y: y² <0} posiada juz jeden element {0} , natomiast zbiór {y: y² * O} ma nieskończenie wiele elementów.

Ćwiczenie

Podaj przykładowe elementy należące do niżej zdefiniowanych zbiorów, który z nich jest zbiorem skończonym?

a) Zbiór liczb podzielnych przez 3.

b) Zbiór nazwisk na liście dziennika.

c) Zbiór imion żeńskich.

d) Zbiór smoków w Krakowie.

e) Zbiór liczb dodatnich mniejszych od 1.

Definicja 7

Podzbiorem zbioru A nazwiemy zbiór pusty lub dowolny zbiór utworzony z elementów należących do A.

Z definicji tej wynika, że zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Ponadto każdy zbiór jest sam dla siebie podzbiorem. Te dwa podzbiory, mianowicie zbiór pusty oraz sam zbiór nazywamy podzbiorami trywialnymi.

Przykład 11

Niech zbiór A składa się z 3 elementów A = {a,b,c]. Wypiszmy wszystkie podzbiory zbioru A. Będą to:

{a,b,c}, 0,

{a,b}, {a,c}, {b,c},

{a}, {&), {c},

Jak widać mamy 8 podzbiorów zbioru 3 elementowego. Nie jest to przypadek.

Twierdzenie 1

Jeżeli zbiór skończony ma n elementów, to liczba jego podzbiorów wynosi 2".

Z twierdzenia tego wynika, że ilość podzbiorów zbioru pustego (0 elementów) wynosi 2° = 1. Zbiór pusty sam dla siebie jest podzbiorem. Ilość podzbiorów zbiory 1 elementowego wynosi 2¹ = 2, zbiór pusty oraz tenże sam zbiór są podzbiorami, o których mowa.

Uzasadnienie.

Precyzyjny dowód tego twierdzenia można przeprowadzimy po zapoznaniu się z indukcją matematyczną. W tym momencie przyjmijmy następujące uzasadnienie. Już zauważyliśmy, że zbiór pusty ma jeden podzbiór. Jeżeli zbiór ma n elementów to pierwszy z tych elementów może należeć bądź nie należeć do jakiegoś podzbioru. Dla każdej takiej sytuacji (element należy bądź nie należy) drugi element może również należeć lub nie należeć do tego podzbio-