8903649926

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

W punkcie (4) po wstawieniu w miejsce x wartości 2 otrzymujemy zdanie prawdziwe 2-1 >0. Po wstawieniu w miejsce x wartości 1 otrzymujemy zdanie fałszywe 1 — 1 >0. W punkcie (5) dla każdej wartości x otrzymujemy zdanie prawdziwe. W punkcie (6) dla każdej wartości x otrzymujemy zdanie fałszywe.

Formę zdaniową, którą spełnia każdy element nazywamy tożsamościową, punkt (5). Formę zdaniową, której nie spełnia żaden element nazywamy sprzeczną, przykłady (3) i (6). Jeżeli dokładniej zanalizujemy przykłady to zauważymy, że aby uczynić z podanych tam form zdania logiczne, nie koniecznie należy w miejsce x podstawiać konkretną wartość. W sytuacji, gdy formę zdaniową w przykładzie (3) poprzedzimy zwrotem „dla każdego x'\ otrzymamy wypowiedź orzekającą zawsze fałszywą a więc zdanie logiczne: dla każdego x, x² +1 = 0

Podobnie będzie w przykładzie (5) z tą tylko różnicą, że tu otrzymamy zdanie logiczne prawdziwe:

dla każdego x, x² +1 > 0

Zwrot „dla każdego” nazywamy kwantyfikatorem ogólnym i oznaczamy symbolem V. Poprzedzając formę zdaniową kwantyfikatorem czynimy z niej zdanie (prawdziwe lub fałszywe):

Vx x² +1 = 0    -    zdanie fałszywe

V;c x² +1 > 0    -    zdanie prawdziwe

Oprócz zwrotu „dla każdego” istnieje inny ważny zwrot czyniący z formy zdaniowej zdanie. Jest nim „istnieje takie x'\ który to zwrot nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym (egzystencjalnym). Wypowiedzi:

istnieje takie x, że x +1 = 2 istnieje takie x, że x² < 0

są zdaniami logicznymi, pierwsze prawdziwym, drugie fałszywym. W pierwszym przypadku jak już ustaliliśmy „takim x” jest liczba 1, w drugim przypadku „takie x” nie może istnieć, gdyż każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna. Kwantyfikator szczegółowy oznaczany jest symbolem 3. Powyższe zdania można, więc zapisać następująco:

3x x+ 1 = 2    -    zdanie prawdziwe

3x x² < 0    -    zdanie fałszywe

Symbolika, której używamy pochodzi od przekręconych pierwszych liter wyrazów angielskich „Ali” (wszystko, cały) oraz „Exist” (istnieć). Możemy rozpatrywać formy zdaniowe o większej liczbie zmiennych. Wyobraźmy sobie, że interesują nas liczby, których różnica jest dodatnia, czyli x— y > 0. Aby uczynić z tej formy zdaniowej zdanie, należy w miejsce x oraz y wstawić konkretne wartości, np. dla x = 2, y = 1 otrzymamy zdanie prawdziwe 2 -1 > 0 . Dla x = 2, y = 3 otrzymamy zdanie fałszywe 2-3>0. Można także formę zdaniową, o której mowa poprzedzić kwantyfikatorami (dwoma). Zauważmy, że aby z formy zdaniowej o kilku zmiennych uczynić zdanie należy do każdej zmiennej przypisać jeden kwantyfikator. Mamy, więc Vx, 3y x—y > 0. Co czytamy: „dla każdego x, istnieje taki y, że jc— y > 0 ”, jest to zdanie prawdziwe, gdyż dla dowolnego x możemy wziąć y (ujemne lub dodatnie) aby uczy-

16