8903649927

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

nić zadość nierówności *-_y>0. Ale mamy także Vjc, Vy ;t-y>0. Co czytamy: „dla każdego x i dla każdego y, x— y > 0 ”, jest to zdanie fałszywe, żeby się o tym przekonać wystarczy przyjąć x = \ i y = 2Powyższe zdanie można zapisać krócej Vx, y x- y > 0. Co czytamy: „dla każdego x i y, x - y > 0 ”

Kwantyfikatorów używa się powszechnie do precyzyjnego zapisywania twierdzeń matematycznych. Na przykład znany wzór skróconego mnożenia można zapisać następująco:

\/a,b (a + b)² = a² +2ab+b²

Prawo zmiany zwrotu przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną możemy zapisać tak:

< 0, V* > y ax<ay

Z kwantyfikatorami poprzedzającymi formy zdaniowe związane są dwie bardzo ważne reguły. Jeżeli formę zdaniową oznaczymy przez p(x), to reguły te możemy zapisać następująco:

-.V p(x) <=> 3 -./>(*)

-.3 p(x) o V ~^p{x)

Regułę pierwszą czytamy: „zaprzeczeniem kwantyfikatora ogólnego poprzedzającego formę zdaniową p(x) jest kwantyfikator szczegółowy poprzedzający zaprzeczenie tej formy”. Regułę drugą czytamy: „zaprzeczeniem kwantyfikatora szczególnego poprzedzającego formę zdaniową p(x) jest kwantyfikator ogólny poprzedzający zaprzeczenie tej formy”.

Powyższe reguły stosuje się bardzo często w dowodach matematycznych. Dla przykładu chcąc pokazać, że nie prawdą jest, iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa od 0:

-i\/x x² > 0

Wystarczy pokazać, że istnieje taka liczba, która tej własności nie posiada, czyli 3x —i(x² > 0) to znaczy 3x x² < 0. Oczywiście x = 0 spełnia ostatnią formę zdaniową, wobec czego nie jest prawdą, że kwadrat każdej liczby jest od 0 większy.

Co należy zapamiętać?

•    powszechnie używa się dwóch kwantyfikatorów: ogólnego V i szczegółowego 3,

•    forma zdaniowa staje się zdaniem jeżeli poprzedzimy ją kwantyfikatorem,

•    każde równanie i każda nierówność są przykładami form zdaniowych,

•    większość twierdzeń matematycznych zapisuje się w postaci form zdaniowych z użyciem kwantyfikatorów,

•    zaprzeczeniem kwantyfikatora ogólnego i formy zdaniowej, jest kwantyfikator szczegółowy i zaprzeczenie tej formy,

•    zaprzeczeniem kwantyfikatora szczegółowego i formy zdaniowej, jest kwantyfikator ogólny i zaprzeczenie tej formy.

Co ponadto warto wiedzieć?

Czasami w publikacjach matematycznych spotkać można pewną modyfikację kwantyfikatora egzystencjalnego 3! - istnieje dokładnie jeden. Na przykład wypowiedź 3!* x² =0 czytamy:

17