9742848396

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

prostą, więc prosta k i pr. AB to ta sama prosta. To, co powiedzieliśmy odnosi się także do prostej /, zatem prosta / i pr. AB to również ta sama prosta. Zatem prosta k oraz prosta / to ta sama prosta. □

Uzupełnijmy nasze wiadomości o prostej jeszcze dwoma pewnikami. Jeden zagwarantuje nam to, co potocznie nazywa się ciągłością linii prostej, drugi zapewni możliwość porządkowania punktów na prostej.

Aksjomat III (Aksjomat ciągłości Dedekinda). Jeżeli podzielimy prostą na dwie niepuste i rozłączne części, to punkt realizujący ten podział należy do prostej. Innymi słowy suma otrzymanych części bez punktu podziału nie da nam całej prostej.

Gdyby suma części podziału I U // dawała całą prostą, punkt A realizujący podział nie należałby do tej prostej. Aksjomat Dedekinda orzeka, że nie jest to możliwe. Innymi słowy, jeżeli po dodaniu części otrzymujemy całą prostą to do którejś z części musi należeć punkt A, zatem musi on należeć do prostej.

Aksjomat Dedekinda nie dotyczy tylko prostych ale ogólnie wszystkich linii ciągłych, które możemy intuicyjnie utożsamia z liniami, dającymi się narysować bez odrywania ołówka. Nie jest to ścisła definicja linii ciągłej, ta zostanie podana na lekcjach analizy, niemniej ten intuicyjny obraz ciągłości należy zawsze mieć przed oczyma. Dopuszczenie możliwości istnienia „dziur” na prostej uniemożliwiłoby dowiedzenia większości twierdzeń. Istniałyby na przykład proste należąca do pęku (A) i niemające z pękiem żadnych punktów wspólnych (wierzchołek A leżałby w „dziurze” prostej). Z jednej strony pęk pokrywałby płaszczyznę gdyż proste należące do pęku przechodziłyby przez wszystkie punkty płaszczyzny, z drugiej istniałyby punkty na płaszczyźnie nienależące do pęku, (który przecież pokrywa płaszczyznę).

Określenie 2. Jeżeli na prostej wyróżnimy jakiś punkt, to dzieli on prostą na dwa obszary nieograniczone, (co rozumiemy przez „ograniczoność” będzie powiedziane dalej). Każdy z tych obszarów nazywamy stroną punktu. Jeżeli do strony punktu dodamy ów wyróżniony punkt otrzymamy półprostą. Półprosta jest, więc częścią prostej podzieloną punktem wraz z tym punktem. Półprosta także jest nieograniczona. Każdy punkt na prostej jest początkiem dwóch półprostych o przeciwnych zwrotach.

Dwa różne punkty A i B leżące na prostej, wyznaczają na tej prostej dwa sposoby jej uporządkowania. Pierwszy to taki, w którym punkt A traktujemy jako pierwszy a punkt B jako następny, drugi, odwrotny względem pierwszego, gdzie punkt B traktujemy jako pierwszy, punkt A jako następny. Spostrzeżenie to prowadzi do kolejnego aksjomatu.

Aksjomat IV. Na prostej istnieją dokładnie dwa różne uporządkowania punktów. Jeżeli w pierwszym punkt A poprzedza punkt B (punkt B następuje za punktem A), to w drugim punkt B poprzedza punkt A (punkt A następuje za punktem B).

Określenie 3. Wyróżnijmy na prostej dwa punkty A i B. Zbiór punktów położonych na prostej pomiędzy punktami A i B wraz z tymi punktami nazywamy odcinkiem o końcach A, B i oznaczamy AB.