8903649933

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

Zdania dają się przekształcać. Można im na przykład zaprzeczać. Jeżeli zaprzeczymy zdaniom 1-3, otrzymamy następujące zdania:

1'. Nieprawda, że Ziemia jest planetą. (Ziemia nie jest planetą.)

2'. Nieprawda, że koń ma pięć nóg. (Koń nie ma pięciu nóg.)

3'. Nieprawda, że dwa jest mniejsze od zera. (Dwa nie jest mniejsze od zera.)

W nawiasach podaliśmy inne sformułowanie zaprzeczenia zdania. Zauważmy, że zaprzeczając zdaniu prawdziwemu otrzymaliśmy zdanie fałszywe - przykład 1’. Zaprzeczając zdaniu fałszywemu otrzymaliśmy zdanie prawdziwe - przykłady 2’, 3’. Zauważmy ponadto, że w przykładzie 3’ błędem byłoby napisać „Dwa jest większe od zera”, ponieważ zaprzeczeniem „mniejszego” jest „większy bądź równy” a nie tylko „większy”. Zatem „Dwa jest większe od zera” nie jest zaprzeczeniem zdania „Dwa jest mniejsze od zera”.

Zaprzeczenie w logice nazywa się negacją i oznacza symbolem —i. Powyższe uwagi prowadzą do następującego określenia:

p	-> p
0	1
1	0

Definicja 2 (definicja negacji) ___

Bezpośrednio z definicji negacji widać, że zaprzeczając zaprzeczeniu niejako znosimy znak negacji. To prawo nazywa się zasadą podwójnego zaprzeczania. Orzeka ono, że zdania p oraz -i (—i p) mają tę samą wartość logiczną tzn. są albo oba prawdziwe albo oba fałszywe.

Co należy zapamiętać?

• połowy są równe, „w sumie” znaczy też „razem”, odcinki są proste,

• nie każde zdanie jest zdaniem w sensie logicznym,

• zdanie logiczne ma określoną wartość logiczną tzn. jest prawdziwe bądź fałszywe,

• negacja oznacza zaprzeczenie, ze zdania prawdziwego czyni zdanie fałszywe, ze zdania fałszywego prawdziwe,

• zaprzeczeniem nierówności ostrej a <b (lub c>d) jest nierówność słaba a >b (lub c<d).

Co ponadto warto wiedzieć?

Negacja jest przykładem funktora zdaniotwórczego jednoargumentowego. Funktor to takie wyrażenie, które przekształca zdania proste w bardziej złożone. Jednoargumentowy, to znaczy, że negacja „działa bezpośrednio” tylko na jednym zdaniu. Łatwo uzasadnić, że funkto-rów jednoargumentowych jest dokładnie 4. Dla każdej wartości zdania w lewej (szarej) kolumnie, można podać dwie wartości w kolumnie prawej. Innymi słowy, jeżeli zdanie po lewej stronie jest prawdziwe, to można pozostawić jego wartość logiczną (1) bądź przypisać mu wartość logiczną przeciwną (0). To samo można uczynić dla zdania fałszywego. Mamy, więc 2-2 = 4 możliwości. Z hipotetycznych czterech funktorów jednoargumentowych, tylko negacja ma praktyczne znaczenie.

Za twórcę logiki uważany jest Arystoteles. Logika bardzo mocno rozwijała się w średniowieczu (więc nie była to epoka tek „ciemna” jak nam się wydaje). Zainteresowanie logiką matematyczną rozpoczęło się od prac Georga Boole’a i Friedrich Frege w XIX stuleciu. W logice