8903649922

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

przy wszystkich możliwych wartościach logicznych zdań składowych otrzymamy prawdę jako wartość całego schematu, to schemat uznamy za tautologię (prawo rachunku zdań).

p	<7	pvq	-ipvq)	-p	-w?	•4 > J -Cł	-<pv <?)<=> (-1/? A-*7)
1	1	1	0	0	0	0	1
0	1	1	0	1	0	0	1
1	0	1	0	0	1	0	1
0	0	0	1	1	1	1	1

Tabela 2

Widzimy, że przy wszystkich podstawieniach prawdy i fałszu (1 i 0) do zdań składowych (szara lewa kolumna) zawsze otrzymujemy prawdę (1) jako wartość zdania złożonego (prawa skrajna kolumna). Wobec czego w nagłówku prawej kolumny mamy tautologię (prawo rachunku zdań). Gdzie stosujemy prawa de Morgana? Rozważmy równanie:

(x-l)(*+l) = 0    (4)

jest ono spełnione dla x = 1 lub x = -1. Jeżeli zaprzeczymy tej alternatywie, to zgodnie z prawem de Morgana otrzymamy:

“(U = l)v(* = -1)] <=> -y(x = 1) a -\(x = -1)

zatem równanie (4) nie jest spełnione (zaprzeczamy zdaniu równanie jest spełnione) dla x*l ix*—l. Przytoczone rozumowanie jest tak oczywiste i powszechne, że przestaliśmy w nim dostrzegać jakieś specjalne prawo.

Aby przećwiczyć metodę zero-jedynkową pokażemy jeszcze jeden przykład (tab. 3). Prawo zaprzeczenia implikacji, mówi, że „zaprzeczenie implikacji jest równoważne koniunkcji poprzednika i zaprzeczenia następnika”: —i (p => q) <^> (p a—\ q)

P	q	p=>q	-■ o=>«)	“> <7	P A—I q	-1 (p=>q)<=$(p A-l q)
1	i	1	0	0	0	1
0	i	1	0	0	0	1
1	0	0	1	1	1	1
0	0	1	0	1	0	1

Tabela 3

Zdanie złożone, które jest fałszywe przy wszelkich możliwych wartościach zdań składowych jest zaprzeczeniem tautologii i nazywamy go zdaniem wewnętrznie sprzecznym. Takim zdanie jest schemat pA—\p, którego fałszywość widać bezpośrednio.

Ćwiczenie

Których tautologii można użyć do opisu poniższych zdań złożonych?

a) Liczba jest podzielna, przez 6 jeżeli jest podzielna przez 2 i przez 3, stąd: liczba nie jest podzielna, przez 6 jeżeli nie dzieli się przez 2 lub nie dzieli się przez 3.

12