8903649921

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, U LO w Chełmie

f)    Przecinając kule płaszczyzną otrzymamy koło. Jeżeli istnieje część wspólna kuli i płaszczyzny, to ma nieskończenie wiele punktów.

g)    Dodając do obu stron równania tę sama wartość nie zmieniamy rozwiązań tego równania. Odejmując od obu stron równania tę sama wartość, nie zmieniamy rozwiązań tego równania.

h)    Proste są prostopadłe. Proste przecinają się.

i)    Proste są równoległe. Proste nie mają punktów wspólnych.

j)    Proste się pokrywają. Proste są równoległe.

5. Które ze zdań złożonych jest zawsze fałszywe a które jest zawsze prawdziwe.

a)    (pAp)A(qAq)

b)    (pA-,p)A(qr,^q)

c)    (p=>q)v(.q=> p)

d)    [(p=>ęr)A(ij=>p)]«0<=>9)

e)    pv-,p

0 -ipA-p)

g)    (pV-ip)A($V-^)

h)    -ip => -ip

i)    (pAp)v(qv~,q)

j)    (pAplAfłAT?)

3. Prawa rachunku zdań. Kwadrat logiczny.

W poprzednim rozdziale zauważyliśmy, że istnieją takie zdania złożone, które są prawdziwe bez względu na wartość logiczną zdań składowych. Przyjmijmy więc definicję:

Definicja 5 (tautologia, prawo logiczne)

Tautologią (prawem logicznym), nazywamy takie zdanie złożone, które jest prawdziwe bez względu na wartość logiczną zdań składowych.

Przykład 7

1.    Prawa de Morgana: -i( p v q) <=> (-ip a -iq), -i( p a q) <=> (-ip v -iq)

2.    Prawo zaprzeczenia implikacji: —\{p ^ q) <=> (p a —iq)

3.    Prawo sylogizmu warunkowego: (p=> q)=> [(q => r)=> (p=> r)]

4.    Prawo transpozycji: (—p => —iq) => (q => p)

5.    Prawo Claviusa: (-ip => p)=> p

6.    Prawo Dunsa Scotusa: —ip^>(p=>q)

W jaki sposób przekonać się, że powyższe zdania złożone rzeczywiście są tautologiami? Istnieje bardzo prosty sposób tzw. metoda zero-jedynkowa, którą objaśnimy na przykładzie. Wykażemy pierwsze z praw de Morgana, mówi ono, że „zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań". Budujemy tabelę 2, która zawierać będzie wszystkie zdania pojedyncze i wszystkie występujące w schemacie zdania złożone. Następnie zdaniom pojedynczym nadajemy wszystkie możliwe wartości prawdy i fałszu (0 i 1) i na podstawie Definicji 4 ustalamy wartość całego zdania złożonego (schematu). Jeżeli

11