123170

Dowód Wszystkie własności pierścienia można sprawdzić korzystając z funkcji /„• Na przykład jeśli chcemy udowodnić łączność to weźmy dowolne elementy a,b,c. £ Z_n. Wtedy mamy:

a +„ (6 +_n c) = /„(o -ł- (b + c)) = /„((o + b) + c) = (o +_n 6) +_n c

Inne własności pokazuje się podobnie. Elementem neutralnym dodawania jest 0. mnożenia jest 1. Elementem przeciwnym do a 6 Z_n jest n — o.O

Działania +_n, *n nazywa się zwykle dodawaniem i mnożeniem modnlo n, a pierścień (Z„,+„,•„) pierścieniem reszt modulo n. Można też zdefiniować potęgowanie np. a² w Z„ rozumiemy jako a •„« itd... W sensie pierścienia Z_n możemy formalnie używać dowolnych liczb całkowitych i możemy powiedzieć, że liczba a = b w Z„ jeśli /„(a) = f„(b). Co to daje? Można w prosty sposób wykonywać pewne działania np. jeśli chcemy obliczyć 7-9(1+95) to wystarczy obliczyć ile wynosi 7(1 + 5) w Z, a potem wziąć resztę z dzielenia wyniku przez 9. Można też inaczej postępować na przykład jeśli chcemy obliczyć 2¹⁰⁰ w pierścieniu Z5 to łatwiej jest wykonywać od razu pewne obliczenia modulo I... 2* - 1 w Z;,, a więc 2^l00 = (2⁴)²⁸ = l²⁵ = 1.

Zadanie Skonstruować tabelki działań w pierścieniu Z5.

+n	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

'fl	0	1	2	3	1
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	1
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

Zadanie Obliczyć 888² w pierścieniu Z_sw>.

Rozwiązanie Ponieważ w pierścieniu Z^ho liczba 888 = — 1 to 888² = (-1)² = 1-

Zadanie Rozwiązać równanie 15 19 x = 1 w Z19.

Rozwiązanie Trzeba wyznaczyć liczbę, która wy mnożona przez 15 modulo 19 da nam 1. Tę liczbę można wyznaczyć badając wszystkie reszty modulo 19. Po przetestowaniu wszystkich liczb modulo 15, stwierdzimy, że jedynym rozwiązaniem naszego równania jest 14.

Opiszemy teraz ogólną metodę odwracania liczb modulo 11

Niech a, b będą liczbami całkowitymi i niech 6^0. Wtedy mówimy, że liczba b dzieli a (lub. że b jest dzielnikiem a) jeśli istnieje liczba całkowita c, że a = be. Fakt, że liczba b dzieli a zapisujemy symbolicznie 6|«, a jeśli liczba b nic dzieli a to piszemy b\a.

Na przykład 24|96 bo 90 = 4 • 24. Podobnie -4|24 bo 24 = (-6) • (-4). Liczba 3 nie dzieli liczby 7, a więc możemy zapisać 3 f 7.

2